Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41331 / 8102
↖ ↑ ↗
← N 79.263824°
E 47.037964°		 ← 113.79 m → N 79.263824°
E 47.043457°		 →
↑
113.79 m
↓
↑
113.79 m
↓
N 79.262800°
E 47.037964°		 ← 113.80 m →
12 949 m²		 N 79.262800°
E 47.043457°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41331 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8102 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.630668640136719 y=0.123634338378906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.630668640136719 × 216)
    floor (0.630668640136719 × 65536)
    floor (41331.5)     		tx = 41331
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.123634338378906 × 216)
    floor (0.123634338378906 × 65536)
    floor (8102.5)     		ty = 8102
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41331 / 8102 ti = "16/41331/8102"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41331/8102.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41331 ÷ 216
    41331 ÷ 65536     		x = 0.630661010742188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8102 ÷ 216
    8102 ÷ 65536     		y = 0.123626708984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.630661010742188 × 2 - 1) × π
    0.261322021484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.82096734
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.123626708984375 × 2 - 1) × π
    0.75274658203125 × 3.1415926535     		Φ = 2.36482313205661
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.82096734} λ = 0.82096734}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.36482313205661))-π/2
    2×atan(10.64215639473)-π/2
    2×1.47710551266373-π/2
    2.95421102532746-1.57079632675     		φ = 1.38341470
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.82096734} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 47.037964°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38341470 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.263824°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41331 KachelY 8102 0.82096734 1.38341470 47.037964 79.263824
    Oben rechts KachelX + 1 41332 KachelY 8102 0.82106322 1.38341470 47.043457 79.263824
    Unten links KachelX 41331 KachelY + 1 8103 0.82096734 1.38339684 47.037964 79.262800
    Unten rechts KachelX + 1 41332 KachelY + 1 8103 0.82106322 1.38339684 47.043457 79.262800
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38341470-1.38339684) × R
    1.78600000000362e-05 × 6371000     		dl = 113.786060000231m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38341470-1.38339684) × R
    1.78600000000362e-05 × 6371000     		dr = 113.786060000231m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.82096734-0.82106322) × cos(1.38341470) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.186286996941579 × 6371000     		do = 113.793687786445m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.82096734-0.82106322) × cos(1.38339684) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.1863045442792 × 6371000     		du = 113.8044066036m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38341470)-sin(1.38339684))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.186286996941579-0.1863045442792)×R²
    abs(0.82106322-0.82096734)×1.75473376209656e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.75473376209656e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.75473376209656e-05×40589641000000     		ar = 12948.7452125116m²