Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41331 / 10111
↖ ↑ ↗
← N 77.001171°
E 47.037964°		 ← 137.40 m → N 77.001171°
E 47.043457°		 →
↑
137.42 m
↓
↑
137.42 m
↓
N 76.999935°
E 47.037964°		 ← 137.41 m →
18 883 m²		 N 76.999935°
E 47.043457°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41331 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10111 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.630668640136719 y=0.154289245605469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.630668640136719 × 216)
    floor (0.630668640136719 × 65536)
    floor (41331.5)     		tx = 41331
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.154289245605469 × 216)
    floor (0.154289245605469 × 65536)
    floor (10111.5)     		ty = 10111
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41331 / 10111 ti = "16/41331/10111"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41331/10111.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41331 ÷ 216
    41331 ÷ 65536     		x = 0.630661010742188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10111 ÷ 216
    10111 ÷ 65536     		y = 0.154281616210938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.630661010742188 × 2 - 1) × π
    0.261322021484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.82096734
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.154281616210938 × 2 - 1) × π
    0.691436767578125 × 3.1415926535     		Φ = 2.17221266938322
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.82096734} λ = 0.82096734}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.17221266938322))-π/2
    2×atan(8.77768468337604)-π/2
    2×1.45736014221237-π/2
    2.91472028442475-1.57079632675     		φ = 1.34392396
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.82096734} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 47.037964°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34392396 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.001171°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41331 KachelY 10111 0.82096734 1.34392396 47.037964 77.001171
    Oben rechts KachelX + 1 41332 KachelY 10111 0.82106322 1.34392396 47.043457 77.001171
    Unten links KachelX 41331 KachelY + 1 10112 0.82096734 1.34390239 47.037964 76.999935
    Unten rechts KachelX + 1 41332 KachelY + 1 10112 0.82106322 1.34390239 47.043457 76.999935
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34392396-1.34390239) × R
    2.15699999999153e-05 × 6371000     		dl = 137.42246999946m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34392396-1.34390239) × R
    2.15699999999153e-05 × 6371000     		dr = 137.42246999946m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.82096734-0.82106322) × cos(1.34392396) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.22493114210497 × 6371000     		do = 137.399521052821m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.82096734-0.82106322) × cos(1.34390239) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.224952159314094 × 6371000     		du = 137.41235944612m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34392396)-sin(1.34390239))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.22493114210497-0.224952159314094)×R²
    abs(0.82106322-0.82096734)×2.10172091242855e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.10172091242855e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.10172091242855e-05×40589641000000     		ar = 18882.6637024577m²