Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41330 / 8017
↖ ↑ ↗
← N 79.350457°
E 47.032471°		 ← 112.87 m → N 79.350457°
E 47.037964°		 →
↑
112.89 m
↓
↑
112.89 m
↓
N 79.349442°
E 47.032471°		 ← 112.88 m →
12 743 m²		 N 79.349442°
E 47.037964°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41330 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8017 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.630653381347656 y=0.122337341308594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.630653381347656 × 216)
    floor (0.630653381347656 × 65536)
    floor (41330.5)     		tx = 41330
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.122337341308594 × 216)
    floor (0.122337341308594 × 65536)
    floor (8017.5)     		ty = 8017
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41330 / 8017 ti = "16/41330/8017"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41330/8017.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41330 ÷ 216
    41330 ÷ 65536     		x = 0.630645751953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8017 ÷ 216
    8017 ÷ 65536     		y = 0.122329711914062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.630645751953125 × 2 - 1) × π
    0.26129150390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.82087147
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.122329711914062 × 2 - 1) × π
    0.755340576171875 × 3.1415926535     		Φ = 2.37297240499202
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.82087147} λ = 0.82087147}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.37297240499202))-π/2
    2×atan(10.7292365699492)-π/2
    2×1.47786153354514-π/2
    2.95572306709028-1.57079632675     		φ = 1.38492674
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.82087147} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 47.032471°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38492674 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.350457°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41330 KachelY 8017 0.82087147 1.38492674 47.032471 79.350457
    Oben rechts KachelX + 1 41331 KachelY 8017 0.82096734 1.38492674 47.037964 79.350457
    Unten links KachelX 41330 KachelY + 1 8018 0.82087147 1.38490902 47.032471 79.349442
    Unten rechts KachelX + 1 41331 KachelY + 1 8018 0.82096734 1.38490902 47.037964 79.349442
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38492674-1.38490902) × R
    1.77199999999988e-05 × 6371000     		dl = 112.894119999993m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38492674-1.38490902) × R
    1.77199999999988e-05 × 6371000     		dr = 112.894119999993m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.82087147-0.82096734) × cos(1.38492674) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.18480121225564 × 6371000     		do = 112.874320326917m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.82087147-0.82096734) × cos(1.38490902) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.184818627015955 × 6371000     		du = 112.884957049534m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38492674)-sin(1.38490902))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.18480121225564-0.184818627015955)×R²
    abs(0.82096734-0.82087147)×1.74147603150265e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.74147603150265e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.74147603150265e-05×40589641000000     		ar = 12743.4474761842m²