Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41328 / 8112
↖ ↑ ↗
← N 79.253585°
E 47.021484°		 ← 113.90 m → N 79.253585°
E 47.026978°		 →
↑
113.85 m
↓
↑
113.85 m
↓
N 79.252562°
E 47.021484°		 ← 113.91 m →
12 968 m²		 N 79.252562°
E 47.026978°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41328 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8112 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.630622863769531 y=0.123786926269531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.630622863769531 × 216)
    floor (0.630622863769531 × 65536)
    floor (41328.5)     		tx = 41328
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.123786926269531 × 216)
    floor (0.123786926269531 × 65536)
    floor (8112.5)     		ty = 8112
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41328 / 8112 ti = "16/41328/8112"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41328/8112.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41328 ÷ 216
    41328 ÷ 65536     		x = 0.630615234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8112 ÷ 216
    8112 ÷ 65536     		y = 0.123779296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.630615234375 × 2 - 1) × π
    0.26123046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.82067972
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.123779296875 × 2 - 1) × π
    0.75244140625 × 3.1415926535     		Φ = 2.36386439406421
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.82067972} λ = 0.82067972}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.36386439406421))-π/2
    2×atan(10.6319582445315)-π/2
    2×1.47701617038116-π/2
    2.95403234076232-1.57079632675     		φ = 1.38323601
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.82067972} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 47.021484°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38323601 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.253585°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41328 KachelY 8112 0.82067972 1.38323601 47.021484 79.253585
    Oben rechts KachelX + 1 41329 KachelY 8112 0.82077560 1.38323601 47.026978 79.253585
    Unten links KachelX 41328 KachelY + 1 8113 0.82067972 1.38321814 47.021484 79.252562
    Unten rechts KachelX + 1 41329 KachelY + 1 8113 0.82077560 1.38321814 47.026978 79.252562
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38323601-1.38321814) × R
    1.78699999999754e-05 × 6371000     		dl = 113.849769999843m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38323601-1.38321814) × R
    1.78699999999754e-05 × 6371000     		dr = 113.849769999843m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.82067972-0.82077560) × cos(1.38323601) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.186462556064473 × 6371000     		do = 113.900928336624m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.82067972-0.82077560) × cos(1.38321814) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.186480112631856 × 6371000     		du = 113.911652791793m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38323601)-sin(1.38321814))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.186462556064473-0.186480112631856)×R²
    abs(0.82077560-0.82067972)×1.75565673831701e-05×R²
    9.58800000000481e-05×1.75565673831701e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×1.75565673831701e-05×40589641000000     		ar = 12968.2049824637m²