Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41327 / 7406
↖ ↑ ↗
← N 79.953182°
E 47.015991°		 ← 106.55 m → N 79.953182°
E 47.021484°		 →
↑
106.59 m
↓
↑
106.59 m
↓
N 79.952224°
E 47.015991°		 ← 106.56 m →
11 358 m²		 N 79.952224°
E 47.021484°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41327 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7406 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.630607604980469 y=0.113014221191406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.630607604980469 × 216)
    floor (0.630607604980469 × 65536)
    floor (41327.5)     		tx = 41327
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.113014221191406 × 216)
    floor (0.113014221191406 × 65536)
    floor (7406.5)     		ty = 7406
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41327 / 7406 ti = "16/41327/7406"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41327/7406.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41327 ÷ 216
    41327 ÷ 65536     		x = 0.630599975585938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7406 ÷ 216
    7406 ÷ 65536     		y = 0.113006591796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.630599975585938 × 2 - 1) × π
    0.261199951171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.82058385
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.113006591796875 × 2 - 1) × π
    0.77398681640625 × 3.1415926535     		Φ = 2.43155129632773
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.82058385} λ = 0.82058385}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.43155129632773))-π/2
    2×atan(11.3765167468197)-π/2
    2×1.48312130245675-π/2
    2.9662426049135-1.57079632675     		φ = 1.39544628
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.82058385} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 47.015991°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39544628 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.953182°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41327 KachelY 7406 0.82058385 1.39544628 47.015991 79.953182
    Oben rechts KachelX + 1 41328 KachelY 7406 0.82067972 1.39544628 47.021484 79.953182
    Unten links KachelX 41327 KachelY + 1 7407 0.82058385 1.39542955 47.015991 79.952224
    Unten rechts KachelX + 1 41328 KachelY + 1 7407 0.82067972 1.39542955 47.021484 79.952224
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39544628-1.39542955) × R
    1.67300000000203e-05 × 6371000     		dl = 106.58683000013m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39544628-1.39542955) × R
    1.67300000000203e-05 × 6371000     		dr = 106.58683000013m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.82058385-0.82067972) × cos(1.39544628) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.174452827288375 × 6371000     		do = 106.553653349659m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.82058385-0.82067972) × cos(1.39542955) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.17446930071832 × 6371000     		du = 106.5637151192m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39544628)-sin(1.39542955))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.174452827288375-0.17446930071832)×R²
    abs(0.82067972-0.82058385)×1.64734299452629e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.64734299452629e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.64734299452629e-05×40589641000000     		ar = 11357.7523616497m²