Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41324 / 10107
↖ ↑ ↗
← N 77.006112°
E 46.999512°		 ← 137.33 m → N 77.006112°
E 47.005005°		 →
↑
137.36 m
↓
↑
137.36 m
↓
N 77.004877°
E 46.999512°		 ← 137.35 m →
18 865 m²		 N 77.004877°
E 47.005005°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41324 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10107 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.630561828613281 y=0.154228210449219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.630561828613281 × 216)
    floor (0.630561828613281 × 65536)
    floor (41324.5)     		tx = 41324
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.154228210449219 × 216)
    floor (0.154228210449219 × 65536)
    floor (10107.5)     		ty = 10107
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41324 / 10107 ti = "16/41324/10107"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41324/10107.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41324 ÷ 216
    41324 ÷ 65536     		x = 0.63055419921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10107 ÷ 216
    10107 ÷ 65536     		y = 0.154220581054688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.63055419921875 × 2 - 1) × π
    0.2611083984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.82029623
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.154220581054688 × 2 - 1) × π
    0.691558837890625 × 3.1415926535     		Φ = 2.17259616458019
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.82029623} λ = 0.82029623}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.17259616458019))-π/2
    2×atan(8.78105152883582)-π/2
    2×1.45740326416194-π/2
    2.91480652832387-1.57079632675     		φ = 1.34401020
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.82029623} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.999512°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34401020 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.006112°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41324 KachelY 10107 0.82029623 1.34401020 46.999512 77.006112
    Oben rechts KachelX + 1 41325 KachelY 10107 0.82039210 1.34401020 47.005005 77.006112
    Unten links KachelX 41324 KachelY + 1 10108 0.82029623 1.34398864 46.999512 77.004877
    Unten rechts KachelX + 1 41325 KachelY + 1 10108 0.82039210 1.34398864 47.005005 77.004877
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34401020-1.34398864) × R
    2.1559999999976e-05 × 6371000     		dl = 137.358759999847m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34401020-1.34398864) × R
    2.1559999999976e-05 × 6371000     		dr = 137.358759999847m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.82029623-0.82039210) × cos(1.34401020) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.224847111197807 × 6371000     		do = 137.333865639448m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.82029623-0.82039210) × cos(1.34398864) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.224868119081397 × 6371000     		du = 137.346696997818m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34401020)-sin(1.34398864))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.224847111197807-0.224868119081397)×R²
    abs(0.82039210-0.82029623)×2.10078835898575e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.10078835898575e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.10078835898575e-05×40589641000000     		ar = 18864.8907408262m²