Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41322 / 7401
↖ ↑ ↗
← N 79.957973°
E 46.988525°		 ← 106.50 m → N 79.957973°
E 46.994018°		 →
↑
106.52 m
↓
↑
106.52 m
↓
N 79.957015°
E 46.988525°		 ← 106.51 m →
11 346 m²		 N 79.957015°
E 46.994018°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41322 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7401 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.630531311035156 y=0.112937927246094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.630531311035156 × 216)
    floor (0.630531311035156 × 65536)
    floor (41322.5)     		tx = 41322
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.112937927246094 × 216)
    floor (0.112937927246094 × 65536)
    floor (7401.5)     		ty = 7401
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41322 / 7401 ti = "16/41322/7401"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41322/7401.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41322 ÷ 216
    41322 ÷ 65536     		x = 0.630523681640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7401 ÷ 216
    7401 ÷ 65536     		y = 0.112930297851562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.630523681640625 × 2 - 1) × π
    0.26104736328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.82010448
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.112930297851562 × 2 - 1) × π
    0.774139404296875 × 3.1415926535     		Φ = 2.43203066532393
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.82010448} λ = 0.82010448}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.43203066532393))-π/2
    2×atan(11.381971603573)-π/2
    2×1.48316310622865-π/2
    2.9663262124573-1.57079632675     		φ = 1.39552989
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.82010448} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.988525°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39552989 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.957973°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41322 KachelY 7401 0.82010448 1.39552989 46.988525 79.957973
    Oben rechts KachelX + 1 41323 KachelY 7401 0.82020035 1.39552989 46.994018 79.957973
    Unten links KachelX 41322 KachelY + 1 7402 0.82010448 1.39551317 46.988525 79.957015
    Unten rechts KachelX + 1 41323 KachelY + 1 7402 0.82020035 1.39551317 46.994018 79.957015
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39552989-1.39551317) × R
    1.67199999998591e-05 × 6371000     		dl = 106.523119999102m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39552989-1.39551317) × R
    1.67199999998591e-05 × 6371000     		dr = 106.523119999102m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.82010448-0.82020035) × cos(1.39552989) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.174370498793524 × 6371000     		do = 106.503368111882m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.82010448-0.82020035) × cos(1.39551317) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.174386962620675 × 6371000     		du = 106.513424016153m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39552989)-sin(1.39551317))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.174370498793524-0.174386962620675)×R²
    abs(0.82020035-0.82010448)×1.64638271508422e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.64638271508422e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.64638271508422e-05×40589641000000     		ar = 11345.6066553516m²