Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41317 / 7391
↖ ↑ ↗
← N 79.967546°
E 46.961060°		 ← 106.40 m → N 79.967546°
E 46.966553°		 →
↑
106.40 m
↓
↑
106.40 m
↓
N 79.966590°
E 46.961060°		 ← 106.41 m →
11 321 m²		 N 79.966590°
E 46.966553°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41317 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7391 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.630455017089844 y=0.112785339355469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.630455017089844 × 216)
    floor (0.630455017089844 × 65536)
    floor (41317.5)     		tx = 41317
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.112785339355469 × 216)
    floor (0.112785339355469 × 65536)
    floor (7391.5)     		ty = 7391
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41317 / 7391 ti = "16/41317/7391"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41317/7391.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41317 ÷ 216
    41317 ÷ 65536     		x = 0.630447387695312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7391 ÷ 216
    7391 ÷ 65536     		y = 0.112777709960938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.630447387695312 × 2 - 1) × π
    0.260894775390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.81962511
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.112777709960938 × 2 - 1) × π
    0.774444580078125 × 3.1415926535     		Φ = 2.43298940331633
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81962511} λ = 0.81962511}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.43298940331633))-π/2
    2×atan(11.3928891648819)-π/2
    2×1.48324665459815-π/2
    2.96649330919629-1.57079632675     		φ = 1.39569698
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81962511} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.961060°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39569698 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.967546°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41317 KachelY 7391 0.81962511 1.39569698 46.961060 79.967546
    Oben rechts KachelX + 1 41318 KachelY 7391 0.81972098 1.39569698 46.966553 79.967546
    Unten links KachelX 41317 KachelY + 1 7392 0.81962511 1.39568028 46.961060 79.966590
    Unten rechts KachelX + 1 41318 KachelY + 1 7392 0.81972098 1.39568028 46.966553 79.966590
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39569698-1.39568028) × R
    1.66999999999806e-05 × 6371000     		dl = 106.395699999877m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39569698-1.39568028) × R
    1.66999999999806e-05 × 6371000     		dr = 106.395699999877m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81962511-0.81972098) × cos(1.39569698) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.17420596615972 × 6371000     		do = 106.402873591388m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81962511-0.81972098) × cos(1.39568028) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.174222410779684 × 6371000     		du = 106.412917764145m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39569698)-sin(1.39568028))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.17420596615972-0.174222410779684)×R²
    abs(0.81972098-0.81962511)×1.64446199643065e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.64446199643065e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.64446199643065e-05×40589641000000     		ar = 11321.3425462587m²