Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41315 / 10128
↖ ↑ ↗
← N 76.980149°
E 46.950073°		 ← 137.62 m → N 76.980149°
E 46.955567°		 →
↑
137.61 m
↓
↑
137.61 m
↓
N 76.978911°
E 46.950073°		 ← 137.63 m →
18 939 m²		 N 76.978911°
E 46.955567°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41315 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10128 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.630424499511719 y=0.154548645019531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.630424499511719 × 216)
    floor (0.630424499511719 × 65536)
    floor (41315.5)     		tx = 41315
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.154548645019531 × 216)
    floor (0.154548645019531 × 65536)
    floor (10128.5)     		ty = 10128
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41315 / 10128 ti = "16/41315/10128"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41315/10128.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41315 ÷ 216
    41315 ÷ 65536     		x = 0.630416870117188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10128 ÷ 216
    10128 ÷ 65536     		y = 0.154541015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.630416870117188 × 2 - 1) × π
    0.260833740234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.81943336
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.154541015625 × 2 - 1) × π
    0.69091796875 × 3.1415926535     		Φ = 2.17058281479614
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81943336} λ = 0.81943336}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.17058281479614))-π/2
    2×atan(8.7633899860343)-π/2
    2×1.45717669406029-π/2
    2.91435338812058-1.57079632675     		φ = 1.34355706
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81943336} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.950073°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34355706 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.980149°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41315 KachelY 10128 0.81943336 1.34355706 46.950073 76.980149
    Oben rechts KachelX + 1 41316 KachelY 10128 0.81952924 1.34355706 46.955567 76.980149
    Unten links KachelX 41315 KachelY + 1 10129 0.81943336 1.34353546 46.950073 76.978911
    Unten rechts KachelX + 1 41316 KachelY + 1 10129 0.81952924 1.34353546 46.955567 76.978911
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34355706-1.34353546) × R
    2.1599999999955e-05 × 6371000     		dl = 137.613599999713m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34355706-1.34353546) × R
    2.1599999999955e-05 × 6371000     		dr = 137.613599999713m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81943336-0.81952924) × cos(1.34355706) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.225288625020696 × 6371000     		do = 137.617890021126m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81943336-0.81952924) × cos(1.34353546) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.225309669676826 × 6371000     		du = 137.630745180469m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34355706)-sin(1.34353546))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.225288625020696-0.225309669676826)×R²
    abs(0.81952924-0.81943336)×2.10446561302868e-05×R²
    9.58800000000481e-05×2.10446561302868e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×2.10446561302868e-05×40589641000000     		ar = 18938.977793358m²