Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 41315 / 10126
↖ ↑ ↗
← N 76.982624°
E 46.950073°		 ← 137.59 m → N 76.982624°
E 46.955567°		 →
↑
137.61 m
↓
↑
137.61 m
↓
N 76.981387°
E 46.950073°		 ← 137.61 m →
18 935 m²		 N 76.981387°
E 46.955567°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41315 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10126 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.630424499511719 y=0.154518127441406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.630424499511719 × 216)
    floor (0.630424499511719 × 65536)
    floor (41315.5)     		tx = 41315
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.154518127441406 × 216)
    floor (0.154518127441406 × 65536)
    floor (10126.5)     		ty = 10126
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41315 / 10126 ti = "16/41315/10126"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41315/10126.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41315 ÷ 216
    41315 ÷ 65536     		x = 0.630416870117188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10126 ÷ 216
    10126 ÷ 65536     		y = 0.154510498046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.630416870117188 × 2 - 1) × π
    0.260833740234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.81943336
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.154510498046875 × 2 - 1) × π
    0.69097900390625 × 3.1415926535     		Φ = 2.17077456239462
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81943336} λ = 0.81943336}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.17077456239462))-π/2
    2×atan(8.76507050613136)-π/2
    2×1.45719829131912-π/2
    2.91439658263825-1.57079632675     		φ = 1.34360026
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81943336} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.950073°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34360026 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.982624°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41315 KachelY 10126 0.81943336 1.34360026 46.950073 76.982624
    Oben rechts KachelX + 1 41316 KachelY 10126 0.81952924 1.34360026 46.955567 76.982624
    Unten links KachelX 41315 KachelY + 1 10127 0.81943336 1.34357866 46.950073 76.981387
    Unten rechts KachelX + 1 41316 KachelY + 1 10127 0.81952924 1.34357866 46.955567 76.981387
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34360026-1.34357866) × R
    2.1600000000177e-05 × 6371000     		dl = 137.613600001128m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34360026-1.34357866) × R
    2.1600000000177e-05 × 6371000     		dr = 137.613600001128m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81943336-0.81952924) × cos(1.34360026) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.225246535393113 × 6371000     		do = 137.592179509824m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81943336-0.81952924) × cos(1.34357866) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.225267580259455 × 6371000     		du = 137.605034797576m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34360026)-sin(1.34357866))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.225246535393113-0.225267580259455)×R²
    abs(0.81952924-0.81943336)×2.1044866341996e-05×R²
    9.58800000000481e-05×2.1044866341996e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×2.1044866341996e-05×40589641000000     		ar = 18935.4396862853m²