Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41313 / 10077
↖ ↑ ↗
← N 77.043114°
E 46.939087°		 ← 136.96 m → N 77.043114°
E 46.944580°		 →
↑
136.91 m
↓
↑
136.91 m
↓
N 77.041882°
E 46.939087°		 ← 136.98 m →
18 753 m²		 N 77.041882°
E 46.944580°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41313 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10077 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.630393981933594 y=0.153770446777344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.630393981933594 × 216)
    floor (0.630393981933594 × 65536)
    floor (41313.5)     		tx = 41313
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.153770446777344 × 216)
    floor (0.153770446777344 × 65536)
    floor (10077.5)     		ty = 10077
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41313 / 10077 ti = "16/41313/10077"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41313/10077.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41313 ÷ 216
    41313 ÷ 65536     		x = 0.630386352539062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10077 ÷ 216
    10077 ÷ 65536     		y = 0.153762817382812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.630386352539062 × 2 - 1) × π
    0.260772705078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.81924161
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.153762817382812 × 2 - 1) × π
    0.692474365234375 × 3.1415926535     		Φ = 2.17547237855739
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81924161} λ = 0.81924161}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.17547237855739))-π/2
    2×atan(8.80634406791855)-π/2
    2×1.4577261656516-π/2
    2.91545233130319-1.57079632675     		φ = 1.34465600
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81924161} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.939087°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34465600 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.043114°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41313 KachelY 10077 0.81924161 1.34465600 46.939087 77.043114
    Oben rechts KachelX + 1 41314 KachelY 10077 0.81933749 1.34465600 46.944580 77.043114
    Unten links KachelX 41313 KachelY + 1 10078 0.81924161 1.34463451 46.939087 77.041882
    Unten rechts KachelX + 1 41314 KachelY + 1 10078 0.81933749 1.34463451 46.944580 77.041882
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34465600-1.34463451) × R
    2.14900000001794e-05 × 6371000     		dl = 136.912790001143m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34465600-1.34463451) × R
    2.14900000001794e-05 × 6371000     		dr = 136.912790001143m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81924161-0.81933749) × cos(1.34465600) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.224217800673009 × 6371000     		do = 136.963775383521m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81924161-0.81933749) × cos(1.34463451) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.224238743465615 × 6371000     		du = 136.97656831938m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34465600)-sin(1.34463451))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.224217800673009-0.224238743465615)×R²
    abs(0.81933749-0.81924161)×2.09427926061156e-05×R²
    9.58800000000481e-05×2.09427926061156e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×2.09427926061156e-05×40589641000000     		ar = 18752.9683758895m²