Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41311 / 7969
↖ ↑ ↗
← N 79.399074°
E 46.928101°		 ← 112.36 m → N 79.399074°
E 46.933594°		 →
↑
112.32 m
↓
↑
112.32 m
↓
N 79.398064°
E 46.928101°		 ← 112.38 m →
12 622 m²		 N 79.398064°
E 46.933594°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41311 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7969 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.630363464355469 y=0.121604919433594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.630363464355469 × 216)
    floor (0.630363464355469 × 65536)
    floor (41311.5)     		tx = 41311
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.121604919433594 × 216)
    floor (0.121604919433594 × 65536)
    floor (7969.5)     		ty = 7969
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41311 / 7969 ti = "16/41311/7969"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41311/7969.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41311 ÷ 216
    41311 ÷ 65536     		x = 0.630355834960938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7969 ÷ 216
    7969 ÷ 65536     		y = 0.121597290039062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.630355834960938 × 2 - 1) × π
    0.260711669921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.81904987
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.121597290039062 × 2 - 1) × π
    0.756805419921875 × 3.1415926535     		Φ = 2.37757434735555
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81904987} λ = 0.81904987}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.37757434735555))-π/2
    2×atan(10.7787256839343)-π/2
    2×1.47828579563353-π/2
    2.95657159126706-1.57079632675     		φ = 1.38577526
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81904987} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.928101°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38577526 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.399074°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41311 KachelY 7969 0.81904987 1.38577526 46.928101 79.399074
    Oben rechts KachelX + 1 41312 KachelY 7969 0.81914574 1.38577526 46.933594 79.399074
    Unten links KachelX 41311 KachelY + 1 7970 0.81904987 1.38575763 46.928101 79.398064
    Unten rechts KachelX + 1 41312 KachelY + 1 7970 0.81914574 1.38575763 46.933594 79.398064
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38577526-1.38575763) × R
    1.76299999998797e-05 × 6371000     		dl = 112.320729999233m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38577526-1.38575763) × R
    1.76299999998797e-05 × 6371000     		dr = 112.320729999233m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81904987-0.81914574) × cos(1.38577526) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.18396724080361 × 6371000     		do = 112.364940763487m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81904987-0.81914574) × cos(1.38575763) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.183984569872794 × 6371000     		du = 112.375525147011m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38577526)-sin(1.38575763))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.18396724080361-0.183984569872794)×R²
    abs(0.81914574-0.81904987)×1.73290691845296e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.73290691845296e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.73290691845296e-05×40589641000000     		ar = 12621.506595679m²