Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41302 / 8101
↖ ↑ ↗
← N 79.264847°
E 46.878662°		 ← 113.78 m → N 79.264847°
E 46.884155°		 →
↑
113.79 m
↓
↑
113.79 m
↓
N 79.263824°
E 46.878662°		 ← 113.79 m →
12 948 m²		 N 79.263824°
E 46.884155°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41302 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8101 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.630226135253906 y=0.123619079589844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.630226135253906 × 216)
    floor (0.630226135253906 × 65536)
    floor (41302.5)     		tx = 41302
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.123619079589844 × 216)
    floor (0.123619079589844 × 65536)
    floor (8101.5)     		ty = 8101
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41302 / 8101 ti = "16/41302/8101"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41302/8101.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41302 ÷ 216
    41302 ÷ 65536     		x = 0.630218505859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8101 ÷ 216
    8101 ÷ 65536     		y = 0.123611450195312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.630218505859375 × 2 - 1) × π
    0.26043701171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.81818700
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.123611450195312 × 2 - 1) × π
    0.752777099609375 × 3.1415926535     		Φ = 2.36491900585585
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81818700} λ = 0.81818700}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.36491900585585))-π/2
    2×atan(10.6431767476075)-π/2
    2×1.4771144422643-π/2
    2.9542288845286-1.57079632675     		φ = 1.38343256
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81818700} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.878662°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38343256 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.264847°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41302 KachelY 8101 0.81818700 1.38343256 46.878662 79.264847
    Oben rechts KachelX + 1 41303 KachelY 8101 0.81828288 1.38343256 46.884155 79.264847
    Unten links KachelX 41302 KachelY + 1 8102 0.81818700 1.38341470 46.878662 79.263824
    Unten rechts KachelX + 1 41303 KachelY + 1 8102 0.81828288 1.38341470 46.884155 79.263824
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38343256-1.38341470) × R
    1.78599999998141e-05 × 6371000     		dl = 113.786059998816m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38343256-1.38341470) × R
    1.78599999998141e-05 × 6371000     		dr = 113.786059998816m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81818700-0.81828288) × cos(1.38343256) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.186269449544537 × 6371000     		do = 113.782968933123m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81818700-0.81828288) × cos(1.38341470) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.186286996941579 × 6371000     		du = 113.793687786576m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38343256)-sin(1.38341470))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.186269449544537-0.186286996941579)×R²
    abs(0.81828288-0.81818700)×1.75473970424889e-05×R²
    9.58800000000481e-05×1.75473970424889e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×1.75473970424889e-05×40589641000000     		ar = 12947.5255585078m²