Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
9 / 413 / 203
↖ ↑ ↗
← N 34.885931°
E110.390625°		 ← 64.134 km → N 34.885931°
E111.093750°		 →
↑
64.358 km
↓
↑
64.358 km
↓
N 34.307144°
E110.390625°		 ← 64.582 km →
4 141.99 km²		 N 34.307144°
E111.093750°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 9 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 413 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 203 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.8076171875 y=0.3974609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=9 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.8076171875 × 29)
    floor (0.8076171875 × 512)
    floor (413.5)     		tx = 413
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.3974609375 × 29)
    floor (0.3974609375 × 512)
    floor (203.5)     		ty = 203
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 9 / 413 / 203 ti = "9/413/203"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/9/413/203.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 413 ÷ 29
    413 ÷ 512     		x = 0.806640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 203 ÷ 29
    203 ÷ 512     		y = 0.396484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.806640625 × 2 - 1) × π
    0.61328125 × 3.1415926535     		Λ = 1.92667987
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.396484375 × 2 - 1) × π
    0.20703125 × 3.1415926535     		Φ = 0.650407854044922
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.92667987} λ = 1.92667987}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.650407854044922))-π/2
    2×atan(1.91632224943113)-π/2
    2×1.08983534215958-π/2
    2.17967068431915-1.57079632675     		φ = 0.60887436
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.92667987} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 110.390625°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.60887436 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 34.885931°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 413 KachelY 203 1.92667987 0.60887436 110.390625 34.885931
    Oben rechts KachelX + 1 414 KachelY 203 1.93895172 0.60887436 111.093750 34.885931
    Unten links KachelX 413 KachelY + 1 204 1.92667987 0.59877262 110.390625 34.307144
    Unten rechts KachelX + 1 414 KachelY + 1 204 1.93895172 0.59877262 111.093750 34.307144
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.60887436-0.59877262) × R
    0.01010174 × 6371000     		dl = 64358.1855399998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.60887436-0.59877262) × R
    0.01010174 × 6371000     		dr = 64358.1855399998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.92667987-1.93895172) × cos(0.60887436) × R
    0.0122718499999999 × 0.82029234096332 × 6371000     		do = 64133.7005801148m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.92667987-1.93895172) × cos(0.59877262) × R
    0.0122718499999999 × 0.826028023946516 × 6371000     		du = 64582.1389681104m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.60887436)-sin(0.59877262))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.82029234096332-0.826028023946516)×R²
    abs(1.93895172-1.92667987)×0.00573568298319593×R²
    0.0122718499999999×0.00573568298319593×6371000²
    0.0122718499999999×0.00573568298319593×40589641000000     		ar = 4141994164.38569m²