Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41298 / 8014
↖ ↑ ↗
← N 79.353502°
E 46.856690°		 ← 112.84 m → N 79.353502°
E 46.862183°		 →
↑
112.89 m
↓
↑
112.89 m
↓
N 79.352487°
E 46.856690°		 ← 112.85 m →
12 740 m²		 N 79.352487°
E 46.862183°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41298 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8014 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.630165100097656 y=0.122291564941406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.630165100097656 × 216)
    floor (0.630165100097656 × 65536)
    floor (41298.5)     		tx = 41298
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.122291564941406 × 216)
    floor (0.122291564941406 × 65536)
    floor (8014.5)     		ty = 8014
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41298 / 8014 ti = "16/41298/8014"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41298/8014.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41298 ÷ 216
    41298 ÷ 65536     		x = 0.630157470703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8014 ÷ 216
    8014 ÷ 65536     		y = 0.122283935546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.630157470703125 × 2 - 1) × π
    0.26031494140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.81780351
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.122283935546875 × 2 - 1) × π
    0.75543212890625 × 3.1415926535     		Φ = 2.37326002638974
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81780351} λ = 0.81780351}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.37326002638974))-π/2
    2×atan(10.7323229718042)-π/2
    2×1.47788810618078-π/2
    2.95577621236157-1.57079632675     		φ = 1.38497989
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81780351} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.856690°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38497989 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.353502°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41298 KachelY 8014 0.81780351 1.38497989 46.856690 79.353502
    Oben rechts KachelX + 1 41299 KachelY 8014 0.81789938 1.38497989 46.862183 79.353502
    Unten links KachelX 41298 KachelY + 1 8015 0.81780351 1.38496217 46.856690 79.352487
    Unten rechts KachelX + 1 41299 KachelY + 1 8015 0.81789938 1.38496217 46.862183 79.352487
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38497989-1.38496217) × R
    1.77199999999988e-05 × 6371000     		dl = 112.894119999993m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38497989-1.38496217) × R
    1.77199999999988e-05 × 6371000     		dr = 112.894119999993m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81780351-0.81789938) × cos(1.38497989) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.18474897745441 × 6371000     		do = 112.842415949157m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81780351-0.81789938) × cos(1.38496217) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.184766392388758 × 6371000     		du = 112.853052778072m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38497989)-sin(1.38496217))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.18474897745441-0.184766392388758)×R²
    abs(0.81789938-0.81780351)×1.74149343477314e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.74149343477314e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.74149343477314e-05×40589641000000     		ar = 12739.8456654669m²