Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41297 / 10067
↖ ↑ ↗
← N 77.055425°
E 46.851196°		 ← 136.84 m → N 77.055425°
E 46.856690°		 →
↑
136.85 m
↓
↑
136.85 m
↓
N 77.054194°
E 46.851196°		 ← 136.85 m →
18 727 m²		 N 77.054194°
E 46.856690°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41297 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10067 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.630149841308594 y=0.153617858886719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.630149841308594 × 216)
    floor (0.630149841308594 × 65536)
    floor (41297.5)     		tx = 41297
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.153617858886719 × 216)
    floor (0.153617858886719 × 65536)
    floor (10067.5)     		ty = 10067
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41297 / 10067 ti = "16/41297/10067"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41297/10067.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41297 ÷ 216
    41297 ÷ 65536     		x = 0.630142211914062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10067 ÷ 216
    10067 ÷ 65536     		y = 0.153610229492188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.630142211914062 × 2 - 1) × π
    0.260284423828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.81770763
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.153610229492188 × 2 - 1) × π
    0.692779541015625 × 3.1415926535     		Φ = 2.17643111654979
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81770763} λ = 0.81770763}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.17643111654979))-π/2
    2×atan(8.81479109314559)-π/2
    2×1.45783359851414-π/2
    2.91566719702828-1.57079632675     		φ = 1.34487087
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81770763} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.851196°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34487087 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.055425°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41297 KachelY 10067 0.81770763 1.34487087 46.851196 77.055425
    Oben rechts KachelX + 1 41298 KachelY 10067 0.81780351 1.34487087 46.856690 77.055425
    Unten links KachelX 41297 KachelY + 1 10068 0.81770763 1.34484939 46.851196 77.054194
    Unten rechts KachelX + 1 41298 KachelY + 1 10068 0.81780351 1.34484939 46.856690 77.054194
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34487087-1.34484939) × R
    2.14800000000182e-05 × 6371000     		dl = 136.849080000116m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34487087-1.34484939) × R
    2.14800000000182e-05 × 6371000     		dr = 136.849080000116m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81770763-0.81780351) × cos(1.34487087) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.224008396291006 × 6371000     		do = 136.835860406698m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81770763-0.81780351) × cos(1.34484939) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.224029330372691 × 6371000     		du = 136.848648021477m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34487087)-sin(1.34484939))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.224008396291006-0.224029330372691)×R²
    abs(0.81780351-0.81770763)×2.09340816851589e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.09340816851589e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.09340816851589e-05×40589641000000     		ar = 18726.7365949679m²