Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41295 / 7307
↖ ↑ ↗
← N 80.047612°
E 46.840210°		 ← 105.56 m → N 80.047612°
E 46.845703°		 →
↑
105.57 m
↓
↑
105.57 m
↓
N 80.046662°
E 46.840210°		 ← 105.57 m →
11 144 m²		 N 80.046662°
E 46.845703°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41295 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7307 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.630119323730469 y=0.111503601074219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.630119323730469 × 216)
    floor (0.630119323730469 × 65536)
    floor (41295.5)     		tx = 41295
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.111503601074219 × 216)
    floor (0.111503601074219 × 65536)
    floor (7307.5)     		ty = 7307
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41295 / 7307 ti = "16/41295/7307"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41295/7307.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41295 ÷ 216
    41295 ÷ 65536     		x = 0.630111694335938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7307 ÷ 216
    7307 ÷ 65536     		y = 0.111495971679688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.630111694335938 × 2 - 1) × π
    0.260223388671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.81751589
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.111495971679688 × 2 - 1) × π
    0.777008056640625 × 3.1415926535     		Φ = 2.4410428024525
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81751589} λ = 0.81751589}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.4410428024525))-π/2
    2×atan(11.4850110980922)-π/2
    2×1.48394535534876-π/2
    2.96789071069753-1.57079632675     		φ = 1.39709438
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81751589} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.840210°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39709438 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.047612°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41295 KachelY 7307 0.81751589 1.39709438 46.840210 80.047612
    Oben rechts KachelX + 1 41296 KachelY 7307 0.81761176 1.39709438 46.845703 80.047612
    Unten links KachelX 41295 KachelY + 1 7308 0.81751589 1.39707781 46.840210 80.046662
    Unten rechts KachelX + 1 41296 KachelY + 1 7308 0.81761176 1.39707781 46.845703 80.046662
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39709438-1.39707781) × R
    1.65699999998825e-05 × 6371000     		dl = 105.567469999251m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39709438-1.39707781) × R
    1.65699999998825e-05 × 6371000     		dr = 105.567469999251m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81751589-0.81761176) × cos(1.39709438) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.17282976383153 × 6371000     		do = 105.562306040284m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81751589-0.81761176) × cos(1.39707781) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.172846084457651 × 6371000     		du = 105.572274479118m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39709438)-sin(1.39707781))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.17282976383153-0.172846084457651)×R²
    abs(0.81761176-0.81751589)×1.63206261216409e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.63206261216409e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.63206261216409e-05×40589641000000     		ar = 11144.4717478959m²