Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41294 / 10050
↖ ↑ ↗
← N 77.076327°
E 46.834717°		 ← 136.62 m → N 77.076327°
E 46.840210°		 →
↑
136.59 m
↓
↑
136.59 m
↓
N 77.075098°
E 46.834717°		 ← 136.63 m →
18 662 m²		 N 77.075098°
E 46.840210°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41294 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10050 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.630104064941406 y=0.153358459472656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.630104064941406 × 216)
    floor (0.630104064941406 × 65536)
    floor (41294.5)     		tx = 41294
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.153358459472656 × 216)
    floor (0.153358459472656 × 65536)
    floor (10050.5)     		ty = 10050
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41294 / 10050 ti = "16/41294/10050"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41294/10050.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41294 ÷ 216
    41294 ÷ 65536     		x = 0.630096435546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10050 ÷ 216
    10050 ÷ 65536     		y = 0.153350830078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.630096435546875 × 2 - 1) × π
    0.26019287109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.81742001
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.153350830078125 × 2 - 1) × π
    0.69329833984375 × 3.1415926535     		Φ = 2.17806097113687
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81742001} λ = 0.81742001}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.17806097113687))-π/2
    2×atan(8.82916963512627)-π/2
    2×1.45801600415788-π/2
    2.91603200831576-1.57079632675     		φ = 1.34523568
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81742001} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.834717°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34523568 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.076327°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41294 KachelY 10050 0.81742001 1.34523568 46.834717 77.076327
    Oben rechts KachelX + 1 41295 KachelY 10050 0.81751589 1.34523568 46.840210 77.076327
    Unten links KachelX 41294 KachelY + 1 10051 0.81742001 1.34521424 46.834717 77.075098
    Unten rechts KachelX + 1 41295 KachelY + 1 10051 0.81751589 1.34521424 46.840210 77.075098
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34523568-1.34521424) × R
    2.14400000000392e-05 × 6371000     		dl = 136.59424000025m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34523568-1.34521424) × R
    2.14400000000392e-05 × 6371000     		dr = 136.59424000025m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81742001-0.81751589) × cos(1.34523568) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.223652842230994 × 6371000     		do = 136.618669683078m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81742001-0.81751589) × cos(1.34521424) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.223673739080161 × 6371000     		du = 136.631434554319m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34523568)-sin(1.34521424))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.223652842230994-0.223673739080161)×R²
    abs(0.81751589-0.81742001)×2.08968491677286e-05×R²
    9.58800000000481e-05×2.08968491677286e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×2.08968491677286e-05×40589641000000     		ar = 18662.1951595542m²