Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41292 / 10057
↖ ↑ ↗
← N 77.067725°
E 46.823730°		 ← 136.71 m → N 77.067725°
E 46.829224°		 →
↑
136.72 m
↓
↑
136.72 m
↓
N 77.066495°
E 46.823730°		 ← 136.72 m →
18 692 m²		 N 77.066495°
E 46.829224°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41292 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10057 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.630073547363281 y=0.153465270996094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.630073547363281 × 216)
    floor (0.630073547363281 × 65536)
    floor (41292.5)     		tx = 41292
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.153465270996094 × 216)
    floor (0.153465270996094 × 65536)
    floor (10057.5)     		ty = 10057
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41292 / 10057 ti = "16/41292/10057"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41292/10057.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41292 ÷ 216
    41292 ÷ 65536     		x = 0.63006591796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10057 ÷ 216
    10057 ÷ 65536     		y = 0.153457641601562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.63006591796875 × 2 - 1) × π
    0.2601318359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.81722826
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.153457641601562 × 2 - 1) × π
    0.693084716796875 × 3.1415926535     		Φ = 2.17738985454219
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81722826} λ = 0.81722826}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.17738985454219))-π/2
    2×atan(8.82324622074005)-π/2
    2×1.45794093104112-π/2
    2.91588186208224-1.57079632675     		φ = 1.34508554
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81722826} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.823730°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34508554 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.067725°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41292 KachelY 10057 0.81722826 1.34508554 46.823730 77.067725
    Oben rechts KachelX + 1 41293 KachelY 10057 0.81732414 1.34508554 46.829224 77.067725
    Unten links KachelX 41292 KachelY + 1 10058 0.81722826 1.34506408 46.823730 77.066495
    Unten rechts KachelX + 1 41293 KachelY + 1 10058 0.81732414 1.34506408 46.829224 77.066495
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34508554-1.34506408) × R
    2.14599999999177e-05 × 6371000     		dl = 136.721659999475m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34508554-1.34506408) × R
    2.14599999999177e-05 × 6371000     		dr = 136.721659999475m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81722826-0.81732414) × cos(1.34508554) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.223799176493793 × 6371000     		do = 136.708058183925m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81722826-0.81732414) × cos(1.34506408) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.223820092115363 × 6371000     		du = 136.720834522316m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34508554)-sin(1.34506408))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.223799176493793-0.223820092115363)×R²
    abs(0.81732414-0.81722826)×2.09156215691952e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.09156215691952e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.09156215691952e-05×40589641000000     		ar = 18691.8260520897m²