Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41292 / 10053
↖ ↑ ↗
← N 77.072641°
E 46.823730°		 ← 136.66 m → N 77.072641°
E 46.829224°		 →
↑
136.66 m
↓
↑
136.66 m
↓
N 77.071412°
E 46.823730°		 ← 136.67 m →
18 676 m²		 N 77.071412°
E 46.829224°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41292 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10053 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.630073547363281 y=0.153404235839844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.630073547363281 × 216)
    floor (0.630073547363281 × 65536)
    floor (41292.5)     		tx = 41292
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.153404235839844 × 216)
    floor (0.153404235839844 × 65536)
    floor (10053.5)     		ty = 10053
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41292 / 10053 ti = "16/41292/10053"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41292/10053.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41292 ÷ 216
    41292 ÷ 65536     		x = 0.63006591796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10053 ÷ 216
    10053 ÷ 65536     		y = 0.153396606445312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.63006591796875 × 2 - 1) × π
    0.2601318359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.81722826
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.153396606445312 × 2 - 1) × π
    0.693206787109375 × 3.1415926535     		Φ = 2.17777334973915
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81722826} λ = 0.81722826}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.17777334973915))-π/2
    2×atan(8.82663054218134)-π/2
    2×1.45798383597784-π/2
    2.91596767195567-1.57079632675     		φ = 1.34517135
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81722826} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.823730°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34517135 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.072641°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41292 KachelY 10053 0.81722826 1.34517135 46.823730 77.072641
    Oben rechts KachelX + 1 41293 KachelY 10053 0.81732414 1.34517135 46.829224 77.072641
    Unten links KachelX 41292 KachelY + 1 10054 0.81722826 1.34514990 46.823730 77.071412
    Unten rechts KachelX + 1 41293 KachelY + 1 10054 0.81732414 1.34514990 46.829224 77.071412
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34517135-1.34514990) × R
    2.14499999999784e-05 × 6371000     		dl = 136.657949999863m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34517135-1.34514990) × R
    2.14499999999784e-05 × 6371000     		dr = 136.657949999863m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81722826-0.81732414) × cos(1.34517135) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.223715542216581 × 6371000     		do = 136.656970061912m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81722826-0.81732414) × cos(1.34514990) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.223736448503718 × 6371000     		du = 136.66974069835m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34517135)-sin(1.34514990))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.223715542216581-0.223736448503718)×R²
    abs(0.81732414-0.81722826)×2.09062871369958e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.09062871369958e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.09062871369958e-05×40589641000000     		ar = 18676.1339869923m²