Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 41291 / 7299
↖ ↑ ↗
← N 80.055204°
E 46.818237°		 ← 105.48 m → N 80.055204°
E 46.823730°		 →
↑
105.50 m
↓
↑
105.50 m
↓
N 80.054255°
E 46.818237°		 ← 105.49 m →
11 129 m²		 N 80.054255°
E 46.823730°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41291 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7299 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.630058288574219 y=0.111381530761719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.630058288574219 × 216)
    floor (0.630058288574219 × 65536)
    floor (41291.5)     		tx = 41291
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.111381530761719 × 216)
    floor (0.111381530761719 × 65536)
    floor (7299.5)     		ty = 7299
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41291 / 7299 ti = "16/41291/7299"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41291/7299.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41291 ÷ 216
    41291 ÷ 65536     		x = 0.630050659179688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7299 ÷ 216
    7299 ÷ 65536     		y = 0.111373901367188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.630050659179688 × 2 - 1) × π
    0.260101318359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.81713239
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.111373901367188 × 2 - 1) × π
    0.777252197265625 × 3.1415926535     		Φ = 2.44180979284642
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81713239} λ = 0.81713239}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.44180979284642))-π/2
    2×atan(11.4938233703106)-π/2
    2×1.48401160970239-π/2
    2.96802321940478-1.57079632675     		φ = 1.39722689
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81713239} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.818237°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39722689 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.055204°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41291 KachelY 7299 0.81713239 1.39722689 46.818237 80.055204
    Oben rechts KachelX + 1 41292 KachelY 7299 0.81722826 1.39722689 46.823730 80.055204
    Unten links KachelX 41291 KachelY + 1 7300 0.81713239 1.39721033 46.818237 80.054255
    Unten rechts KachelX + 1 41292 KachelY + 1 7300 0.81722826 1.39721033 46.823730 80.054255
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39722689-1.39721033) × R
    1.65599999999433e-05 × 6371000     		dl = 105.503759999639m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39722689-1.39721033) × R
    1.65599999999433e-05 × 6371000     		dr = 105.503759999639m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81713239-0.81722826) × cos(1.39722689) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.172699246363355 × 6371000     		do = 105.482587566952m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81713239-0.81722826) × cos(1.39721033) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.172715557519114 × 6371000     		du = 105.492550221404m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39722689)-sin(1.39721033))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.172699246363355-0.172715557519114)×R²
    abs(0.81722826-0.81713239)×1.63111557596463e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.63111557596463e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.63111557596463e-05×40589641000000     		ar = 11129.3351516798m²