Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41291 / 10051
↖ ↑ ↗
← N 77.075098°
E 46.818237°		 ← 136.62 m → N 77.075098°
E 46.823730°		 →
↑
136.66 m
↓
↑
136.66 m
↓
N 77.073870°
E 46.818237°		 ← 136.63 m →
18 671 m²		 N 77.073870°
E 46.823730°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41291 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10051 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.630058288574219 y=0.153373718261719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.630058288574219 × 216)
    floor (0.630058288574219 × 65536)
    floor (41291.5)     		tx = 41291
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.153373718261719 × 216)
    floor (0.153373718261719 × 65536)
    floor (10051.5)     		ty = 10051
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41291 / 10051 ti = "16/41291/10051"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41291/10051.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41291 ÷ 216
    41291 ÷ 65536     		x = 0.630050659179688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10051 ÷ 216
    10051 ÷ 65536     		y = 0.153366088867188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.630050659179688 × 2 - 1) × π
    0.260101318359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.81713239
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.153366088867188 × 2 - 1) × π
    0.693267822265625 × 3.1415926535     		Φ = 2.17796509733763
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81713239} λ = 0.81713239}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.17796509733763))-π/2
    2×atan(8.82832318966583)-π/2
    2×1.45800528243316-π/2
    2.91601056486633-1.57079632675     		φ = 1.34521424
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81713239} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.818237°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34521424 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.075098°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41291 KachelY 10051 0.81713239 1.34521424 46.818237 77.075098
    Oben rechts KachelX + 1 41292 KachelY 10051 0.81722826 1.34521424 46.823730 77.075098
    Unten links KachelX 41291 KachelY + 1 10052 0.81713239 1.34519279 46.818237 77.073870
    Unten rechts KachelX + 1 41292 KachelY + 1 10052 0.81722826 1.34519279 46.823730 77.073870
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34521424-1.34519279) × R
    2.14499999999784e-05 × 6371000     		dl = 136.657949999863m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34521424-1.34519279) × R
    2.14499999999784e-05 × 6371000     		dr = 136.657949999863m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81713239-0.81722826) × cos(1.34521424) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.223673739080161 × 6371000     		do = 136.617184300331m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81713239-0.81722826) × cos(1.34519279) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.223694645573105 × 6371000     		du = 136.629953730534m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34521424)-sin(1.34519279))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.223673739080161-0.223694645573105)×R²
    abs(0.81722826-0.81713239)×2.09064929435621e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.09064929435621e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.09064929435621e-05×40589641000000     		ar = 18670.6968643921m²