Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41290 / 9935
↖ ↑ ↗
← N 77.216855°
E 46.812744°		 ← 135.14 m → N 77.216855°
E 46.818237°		 →
↑
135.19 m
↓
↑
135.19 m
↓
N 77.215639°
E 46.812744°		 ← 135.16 m →
18 271 m²		 N 77.215639°
E 46.818237°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41290 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9935 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.630043029785156 y=0.151603698730469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.630043029785156 × 216)
    floor (0.630043029785156 × 65536)
    floor (41290.5)     		tx = 41290
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.151603698730469 × 216)
    floor (0.151603698730469 × 65536)
    floor (9935.5)     		ty = 9935
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41290 / 9935 ti = "16/41290/9935"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41290/9935.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41290 ÷ 216
    41290 ÷ 65536     		x = 0.630035400390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9935 ÷ 216
    9935 ÷ 65536     		y = 0.151596069335938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.630035400390625 × 2 - 1) × π
    0.26007080078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.81703652
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.151596069335938 × 2 - 1) × π
    0.696807861328125 × 3.1415926535     		Φ = 2.18908645804948
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81703652} λ = 0.81703652}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.18908645804948))-π/2
    2×atan(8.92705415002735)-π/2
    2×1.45924234261274-π/2
    2.91848468522548-1.57079632675     		φ = 1.34768836
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81703652} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.812744°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34768836 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.216855°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41290 KachelY 9935 0.81703652 1.34768836 46.812744 77.216855
    Oben rechts KachelX + 1 41291 KachelY 9935 0.81713239 1.34768836 46.818237 77.216855
    Unten links KachelX 41290 KachelY + 1 9936 0.81703652 1.34766714 46.812744 77.215639
    Unten rechts KachelX + 1 41291 KachelY + 1 9936 0.81713239 1.34766714 46.818237 77.215639
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34768836-1.34766714) × R
    2.1220000000044e-05 × 6371000     		dl = 135.19262000028m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34768836-1.34766714) × R
    2.1220000000044e-05 × 6371000     		dr = 135.19262000028m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81703652-0.81713239) × cos(1.34768836) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.221261621076621 × 6371000     		do = 135.143892123971m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81703652-0.81713239) × cos(1.34766714) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.221282315078211 × 6371000     		du = 135.156531767055m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34768836)-sin(1.34766714))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.221261621076621-0.221282315078211)×R²
    abs(0.81713239-0.81703652)×2.06940015901602e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.06940015901602e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.06940015901602e-05×40589641000000     		ar = 18271.3112471116m²