Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41290 / 10073
↖ ↑ ↗
← N 77.048039°
E 46.812744°		 ← 136.90 m → N 77.048039°
E 46.818237°		 →
↑
136.85 m
↓
↑
136.85 m
↓
N 77.046809°
E 46.812744°		 ← 136.91 m →
18 735 m²		 N 77.046809°
E 46.818237°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41290 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10073 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.630043029785156 y=0.153709411621094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.630043029785156 × 216)
    floor (0.630043029785156 × 65536)
    floor (41290.5)     		tx = 41290
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.153709411621094 × 216)
    floor (0.153709411621094 × 65536)
    floor (10073.5)     		ty = 10073
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41290 / 10073 ti = "16/41290/10073"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41290/10073.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41290 ÷ 216
    41290 ÷ 65536     		x = 0.630035400390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10073 ÷ 216
    10073 ÷ 65536     		y = 0.153701782226562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.630035400390625 × 2 - 1) × π
    0.26007080078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.81703652
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.153701782226562 × 2 - 1) × π
    0.692596435546875 × 3.1415926535     		Φ = 2.17585587375435
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81703652} λ = 0.81703652}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.17585587375435))-π/2
    2×atan(8.80972190622236)-π/2
    2×1.45776915084257-π/2
    2.91553830168513-1.57079632675     		φ = 1.34474197
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81703652} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.812744°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34474197 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.048039°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41290 KachelY 10073 0.81703652 1.34474197 46.812744 77.048039
    Oben rechts KachelX + 1 41291 KachelY 10073 0.81713239 1.34474197 46.818237 77.048039
    Unten links KachelX 41290 KachelY + 1 10074 0.81703652 1.34472049 46.812744 77.046809
    Unten rechts KachelX + 1 41291 KachelY + 1 10074 0.81713239 1.34472049 46.818237 77.046809
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34474197-1.34472049) × R
    2.14800000000182e-05 × 6371000     		dl = 136.849080000116m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34474197-1.34472049) × R
    2.14800000000182e-05 × 6371000     		dr = 136.849080000116m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81703652-0.81713239) × cos(1.34474197) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.224134018721615 × 6371000     		do = 136.898317476111m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81703652-0.81713239) × cos(1.34472049) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.224154952182869 × 6371000     		du = 136.911103378228m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34474197)-sin(1.34472049))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.224134018721615-0.224154952182869)×R²
    abs(0.81713239-0.81703652)×2.09334612540912e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.09334612540912e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.09334612540912e-05×40589641000000     		ar = 18735.2836704765m²