Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4129 / 2337
↖ ↑ ↗
← N 60.909073°
E  1.450195°		 ← 2 375.80 m → N 60.909073°
E  1.494140°		 →
↑
2 376.57 m
↓
↑
2 376.57 m
↓
N 60.887700°
E  1.450195°		 ← 2 377.39 m →
5 648 154 m²		 N 60.887700°
E  1.494140°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4129 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2337 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.50408935546875 y=0.28533935546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.50408935546875 × 213)
    floor (0.50408935546875 × 8192)
    floor (4129.5)     		tx = 4129
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.28533935546875 × 213)
    floor (0.28533935546875 × 8192)
    floor (2337.5)     		ty = 2337
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4129 / 2337 ti = "13/4129/2337"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4129/2337.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4129 ÷ 213
    4129 ÷ 8192     		x = 0.5040283203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2337 ÷ 213
    2337 ÷ 8192     		y = 0.2852783203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5040283203125 × 2 - 1) × π
    0.008056640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.02531068
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2852783203125 × 2 - 1) × π
    0.429443359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.34913610290686
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.02531068} λ = 0.02531068}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.34913610290686))-π/2
    2×atan(3.854094551013)-π/2
    2×1.31693009994833-π/2
    2.63386019989667-1.57079632675     		φ = 1.06306387
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.02531068} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.450195°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.06306387 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 60.909073°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4129 KachelY 2337 0.02531068 1.06306387 1.450195 60.909073
    Oben rechts KachelX + 1 4130 KachelY 2337 0.02607767 1.06306387 1.494140 60.909073
    Unten links KachelX 4129 KachelY + 1 2338 0.02531068 1.06269084 1.450195 60.887700
    Unten rechts KachelX + 1 4130 KachelY + 1 2338 0.02607767 1.06269084 1.494140 60.887700
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.06306387-1.06269084) × R
    0.000373029999999996 × 6371000     		dl = 2376.57412999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.06306387-1.06269084) × R
    0.000373029999999996 × 6371000     		dr = 2376.57412999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.02531068-0.02607767) × cos(1.06306387) × R
    0.000766990000000002 × 0.486197007658037 × 6371000     		do = 2375.79841553908m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.02531068-0.02607767) × cos(1.06269084) × R
    0.000766990000000002 × 0.486522945799752 × 6371000     		du = 2377.39111008153m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.06306387)-sin(1.06269084))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.486197007658037-0.486522945799752)×R²
    abs(0.02607767-0.02531068)×0.000325938141714943×R²
    0.000766990000000002×0.000325938141714943×6371000²
    0.000766990000000002×0.000325938141714943×40589641000000     		ar = 5648153.69628289m²