Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4129 / 2327
↖ ↑ ↗
← N 61.122019°
E  1.450195°		 ← 2 359.91 m → N 61.122019°
E  1.494140°		 →
↑
2 360.71 m
↓
↑
2 360.71 m
↓
N 61.100789°
E  1.450195°		 ← 2 361.50 m →
5 572 940 m²		 N 61.100789°
E  1.494140°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4129 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2327 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.50408935546875 y=0.28411865234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.50408935546875 × 213)
    floor (0.50408935546875 × 8192)
    floor (4129.5)     		tx = 4129
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.28411865234375 × 213)
    floor (0.28411865234375 × 8192)
    floor (2327.5)     		ty = 2327
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4129 / 2327 ti = "13/4129/2327"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4129/2327.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4129 ÷ 213
    4129 ÷ 8192     		x = 0.5040283203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2327 ÷ 213
    2327 ÷ 8192     		y = 0.2840576171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5040283203125 × 2 - 1) × π
    0.008056640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.02531068
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2840576171875 × 2 - 1) × π
    0.431884765625 × 3.1415926535     		Φ = 1.35680600684607
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.02531068} λ = 0.02531068}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.35680600684607))-π/2
    2×atan(3.8837687396087)-π/2
    2×1.31878840336356-π/2
    2.63757680672713-1.57079632675     		φ = 1.06678048
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.02531068} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.450195°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.06678048 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 61.122019°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4129 KachelY 2327 0.02531068 1.06678048 1.450195 61.122019
    Oben rechts KachelX + 1 4130 KachelY 2327 0.02607767 1.06678048 1.494140 61.122019
    Unten links KachelX 4129 KachelY + 1 2328 0.02531068 1.06640994 1.450195 61.100789
    Unten rechts KachelX + 1 4130 KachelY + 1 2328 0.02607767 1.06640994 1.494140 61.100789
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.06678048-1.06640994) × R
    0.00037054000000003 × 6371000     		dl = 2360.71034000019m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.06678048-1.06640994) × R
    0.00037054000000003 × 6371000     		dr = 2360.71034000019m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.02531068-0.02607767) × cos(1.06678048) × R
    0.000766990000000002 × 0.482945900401315 × 6371000     		do = 2359.91190174404m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.02531068-0.02607767) × cos(1.06640994) × R
    0.000766990000000002 × 0.483270330661515 × 6371000     		du = 2361.49722803358m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.06678048)-sin(1.06640994))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.482945900401315-0.483270330661515)×R²
    abs(0.02607767-0.02531068)×0.000324430260199626×R²
    0.000766990000000002×0.000324430260199626×6371000²
    0.000766990000000002×0.000324430260199626×40589641000000     		ar = 5572939.73978144m²