Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41286 / 9490
↖ ↑ ↗
← N 77.746615°
E 46.790771°		 ← 129.64 m → N 77.746615°
E 46.796265°		 →
↑
129.65 m
↓
↑
129.65 m
↓
N 77.745449°
E 46.790771°		 ← 129.66 m →
16 809 m²		 N 77.745449°
E 46.796265°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41286 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9490 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.629981994628906 y=0.144813537597656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.629981994628906 × 216)
    floor (0.629981994628906 × 65536)
    floor (41286.5)     		tx = 41286
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.144813537597656 × 216)
    floor (0.144813537597656 × 65536)
    floor (9490.5)     		ty = 9490
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41286 / 9490 ti = "16/41286/9490"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41286/9490.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41286 ÷ 216
    41286 ÷ 65536     		x = 0.629974365234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9490 ÷ 216
    9490 ÷ 65536     		y = 0.144805908203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.629974365234375 × 2 - 1) × π
    0.25994873046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.81665302
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.144805908203125 × 2 - 1) × π
    0.71038818359375 × 3.1415926535     		Φ = 2.23175029871133
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81665302} λ = 0.81665302}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.23175029871133))-π/2
    2×atan(9.3161578766947)-π/2
    2×1.46386536933786-π/2
    2.92773073867572-1.57079632675     		φ = 1.35693441
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81665302} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.790771°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35693441 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.746615°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41286 KachelY 9490 0.81665302 1.35693441 46.790771 77.746615
    Oben rechts KachelX + 1 41287 KachelY 9490 0.81674890 1.35693441 46.796265 77.746615
    Unten links KachelX 41286 KachelY + 1 9491 0.81665302 1.35691406 46.790771 77.745449
    Unten rechts KachelX + 1 41287 KachelY + 1 9491 0.81674890 1.35691406 46.796265 77.745449
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35693441-1.35691406) × R
    2.03500000000023e-05 × 6371000     		dl = 129.649850000015m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35693441-1.35691406) × R
    2.03500000000023e-05 × 6371000     		dr = 129.649850000015m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81665302-0.81674890) × cos(1.35693441) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.212235409947436 × 6371000     		do = 129.644314274863m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81665302-0.81674890) × cos(1.35691406) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.21225529630136 × 6371000     		du = 129.656461883589m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35693441)-sin(1.35691406))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.212235409947436-0.21225529630136)×R²
    abs(0.81674890-0.81665302)×1.98863539233596e-05×R²
    9.58800000000481e-05×1.98863539233596e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×1.98863539233596e-05×40589641000000     		ar = 16809.1533673646m²