Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41285 / 7289
↖ ↑ ↗
← N 80.064686°
E 46.785278°		 ← 105.38 m → N 80.064686°
E 46.790771°		 →
↑
105.38 m
↓
↑
105.38 m
↓
N 80.063739°
E 46.785278°		 ← 105.39 m →
11 105 m²		 N 80.063739°
E 46.790771°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41285 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7289 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.629966735839844 y=0.111228942871094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.629966735839844 × 216)
    floor (0.629966735839844 × 65536)
    floor (41285.5)     		tx = 41285
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.111228942871094 × 216)
    floor (0.111228942871094 × 65536)
    floor (7289.5)     		ty = 7289
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41285 / 7289 ti = "16/41285/7289"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41285/7289.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41285 ÷ 216
    41285 ÷ 65536     		x = 0.629959106445312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7289 ÷ 216
    7289 ÷ 65536     		y = 0.111221313476562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.629959106445312 × 2 - 1) × π
    0.259918212890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.81655715
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.111221313476562 × 2 - 1) × π
    0.777557373046875 × 3.1415926535     		Φ = 2.44276853083882
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81655715} λ = 0.81655715}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.44276853083882))-π/2
    2×atan(11.5048482195801)-π/2
    2×1.48409435728838-π/2
    2.96818871457677-1.57079632675     		φ = 1.39739239
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81655715} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.785278°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39739239 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.064686°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41285 KachelY 7289 0.81655715 1.39739239 46.785278 80.064686
    Oben rechts KachelX + 1 41286 KachelY 7289 0.81665302 1.39739239 46.790771 80.064686
    Unten links KachelX 41285 KachelY + 1 7290 0.81655715 1.39737585 46.785278 80.063739
    Unten rechts KachelX + 1 41286 KachelY + 1 7290 0.81665302 1.39737585 46.790771 80.063739
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39739239-1.39737585) × R
    1.65400000000648e-05 × 6371000     		dl = 105.376340000413m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39739239-1.39737585) × R
    1.65400000000648e-05 × 6371000     		dr = 105.376340000413m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81655715-0.81665302) × cos(1.39739239) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.172536230702018 × 6371000     		do = 105.383019594688m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81655715-0.81665302) × cos(1.39737585) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.172552522630883 × 6371000     		du = 105.392970505589m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39739239)-sin(1.39737585))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.172536230702018-0.172552522630883)×R²
    abs(0.81665302-0.81655715)×1.62919288657637e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.62919288657637e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.62919288657637e-05×40589641000000     		ar = 11105.4011985751m²