Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41284 / 7332
↖ ↑ ↗
← N 80.023849°
E 46.779785°		 ← 105.82 m → N 80.023849°
E 46.785278°		 →
↑
105.82 m
↓
↑
105.82 m
↓
N 80.022898°
E 46.779785°		 ← 105.83 m →
11 199 m²		 N 80.022898°
E 46.785278°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41284 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7332 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.629951477050781 y=0.111885070800781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.629951477050781 × 216)
    floor (0.629951477050781 × 65536)
    floor (41284.5)     		tx = 41284
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.111885070800781 × 216)
    floor (0.111885070800781 × 65536)
    floor (7332.5)     		ty = 7332
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41284 / 7332 ti = "16/41284/7332"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41284/7332.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41284 ÷ 216
    41284 ÷ 65536     		x = 0.62994384765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7332 ÷ 216
    7332 ÷ 65536     		y = 0.11187744140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62994384765625 × 2 - 1) × π
    0.2598876953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.81646127
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.11187744140625 × 2 - 1) × π
    0.7762451171875 × 3.1415926535     		Φ = 2.4386459574715
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81646127} λ = 0.81646127}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.4386459574715))-π/2
    2×atan(11.4575162704676)-π/2
    2×1.48373798760516-π/2
    2.96747597521031-1.57079632675     		φ = 1.39667965
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81646127} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.779785°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39667965 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.023849°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41284 KachelY 7332 0.81646127 1.39667965 46.779785 80.023849
    Oben rechts KachelX + 1 41285 KachelY 7332 0.81655715 1.39667965 46.785278 80.023849
    Unten links KachelX 41284 KachelY + 1 7333 0.81646127 1.39666304 46.779785 80.022898
    Unten rechts KachelX + 1 41285 KachelY + 1 7333 0.81655715 1.39666304 46.785278 80.022898
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39667965-1.39666304) × R
    1.66100000000835e-05 × 6371000     		dl = 105.822310000532m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39667965-1.39666304) × R
    1.66100000000835e-05 × 6371000     		dr = 105.822310000532m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81646127-0.81655715) × cos(1.39667965) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.173238237979423 × 6371000     		do = 105.822834062253m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81646127-0.81655715) × cos(1.39666304) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.173254596811468 × 6371000     		du = 105.832826879019m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39667965)-sin(1.39666304))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.173238237979423-0.173254596811468)×R²
    abs(0.81655715-0.81646127)×1.63588320458985e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.63588320458985e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.63588320458985e-05×40589641000000     		ar = 11198.9454829418m²