Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41278 / 7275
↖ ↑ ↗
← N 80.077946°
E 46.746826°		 ← 105.25 m → N 80.077946°
E 46.752320°		 →
↑
105.25 m
↓
↑
105.25 m
↓
N 80.077000°
E 46.746826°		 ← 105.26 m →
11 078 m²		 N 80.077000°
E 46.752320°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41278 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7275 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.629859924316406 y=0.111015319824219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.629859924316406 × 216)
    floor (0.629859924316406 × 65536)
    floor (41278.5)     		tx = 41278
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.111015319824219 × 216)
    floor (0.111015319824219 × 65536)
    floor (7275.5)     		ty = 7275
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41278 / 7275 ti = "16/41278/7275"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41278/7275.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41278 ÷ 216
    41278 ÷ 65536     		x = 0.629852294921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7275 ÷ 216
    7275 ÷ 65536     		y = 0.111007690429688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.629852294921875 × 2 - 1) × π
    0.25970458984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.81588603
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.111007690429688 × 2 - 1) × π
    0.777984619140625 × 3.1415926535     		Φ = 2.44411076402818
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81588603} λ = 0.81588603}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.44411076402818))-π/2
    2×atan(11.5203007768467)-π/2
    2×1.48421007270566-π/2
    2.96842014541133-1.57079632675     		φ = 1.39762382
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81588603} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.746826°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39762382 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.077946°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41278 KachelY 7275 0.81588603 1.39762382 46.746826 80.077946
    Oben rechts KachelX + 1 41279 KachelY 7275 0.81598191 1.39762382 46.752320 80.077946
    Unten links KachelX 41278 KachelY + 1 7276 0.81588603 1.39760730 46.746826 80.077000
    Unten rechts KachelX + 1 41279 KachelY + 1 7276 0.81598191 1.39760730 46.752320 80.077000
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39762382-1.39760730) × R
    1.65199999999643e-05 × 6371000     		dl = 105.248919999773m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39762382-1.39760730) × R
    1.65199999999643e-05 × 6371000     		dr = 105.248919999773m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81588603-0.81598191) × cos(1.39762382) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.172308266799421 × 6371000     		do = 105.254759790592m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81588603-0.81598191) × cos(1.39760730) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.17232453968752 × 6371000     		du = 105.264700108371m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39762382)-sin(1.39760730))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.172308266799421-0.17232453968752)×R²
    abs(0.81598191-0.81588603)×1.62728880991614e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.62728880991614e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.62728880991614e-05×40589641000000     		ar = 11078.4728971057m²