Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41278 / 10098
↖ ↑ ↗
← N 77.017223°
E 46.746826°		 ← 137.23 m → N 77.017223°
E 46.752320°		 →
↑
137.23 m
↓
↑
137.23 m
↓
N 77.015989°
E 46.746826°		 ← 137.25 m →
18 834 m²		 N 77.015989°
E 46.752320°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41278 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10098 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.629859924316406 y=0.154090881347656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.629859924316406 × 216)
    floor (0.629859924316406 × 65536)
    floor (41278.5)     		tx = 41278
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.154090881347656 × 216)
    floor (0.154090881347656 × 65536)
    floor (10098.5)     		ty = 10098
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41278 / 10098 ti = "16/41278/10098"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41278/10098.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41278 ÷ 216
    41278 ÷ 65536     		x = 0.629852294921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10098 ÷ 216
    10098 ÷ 65536     		y = 0.154083251953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.629852294921875 × 2 - 1) × π
    0.25970458984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.81588603
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.154083251953125 × 2 - 1) × π
    0.69183349609375 × 3.1415926535     		Φ = 2.17345902877335
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81588603} λ = 0.81588603}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.17345902877335))-π/2
    2×atan(8.78863165361718)-π/2
    2×1.45750022965274-π/2
    2.91500045930548-1.57079632675     		φ = 1.34420413
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81588603} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.746826°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34420413 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.017223°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41278 KachelY 10098 0.81588603 1.34420413 46.746826 77.017223
    Oben rechts KachelX + 1 41279 KachelY 10098 0.81598191 1.34420413 46.752320 77.017223
    Unten links KachelX 41278 KachelY + 1 10099 0.81588603 1.34418259 46.746826 77.015989
    Unten rechts KachelX + 1 41279 KachelY + 1 10099 0.81598191 1.34418259 46.752320 77.015989
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34420413-1.34418259) × R
    2.15400000000976e-05 × 6371000     		dl = 137.231340000622m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34420413-1.34418259) × R
    2.15400000000976e-05 × 6371000     		dr = 137.231340000622m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81588603-0.81598191) × cos(1.34420413) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.22465814273157 × 6371000     		do = 137.232758981541m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81588603-0.81598191) × cos(1.34418259) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.224679132066268 × 6371000     		du = 137.245580347705m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34420413)-sin(1.34418259))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.22465814273157-0.224679132066268)×R²
    abs(0.81598191-0.81588603)×2.09893346980183e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.09893346980183e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.09893346980183e-05×40589641000000     		ar = 18833.5151543357m²