Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41276 / 10095
↖ ↑ ↗
← N 77.020925°
E 46.735840°		 ← 137.19 m → N 77.020925°
E 46.741333°		 →
↑
137.17 m
↓
↑
137.17 m
↓
N 77.019692°
E 46.735840°		 ← 137.21 m →
18 819 m²		 N 77.019692°
E 46.741333°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41276 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10095 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.629829406738281 y=0.154045104980469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.629829406738281 × 216)
    floor (0.629829406738281 × 65536)
    floor (41276.5)     		tx = 41276
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.154045104980469 × 216)
    floor (0.154045104980469 × 65536)
    floor (10095.5)     		ty = 10095
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41276 / 10095 ti = "16/41276/10095"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41276/10095.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41276 ÷ 216
    41276 ÷ 65536     		x = 0.62982177734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10095 ÷ 216
    10095 ÷ 65536     		y = 0.154037475585938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62982177734375 × 2 - 1) × π
    0.2596435546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.81569428
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.154037475585938 × 2 - 1) × π
    0.691925048828125 × 3.1415926535     		Φ = 2.17374665017107
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81569428} λ = 0.81569428}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.17374665017107))-π/2
    2×atan(8.79115981569676)-π/2
    2×1.4575325333698-π/2
    2.9150650667396-1.57079632675     		φ = 1.34426874
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81569428} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.735840°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34426874 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.020925°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41276 KachelY 10095 0.81569428 1.34426874 46.735840 77.020925
    Oben rechts KachelX + 1 41277 KachelY 10095 0.81579016 1.34426874 46.741333 77.020925
    Unten links KachelX 41276 KachelY + 1 10096 0.81569428 1.34424721 46.735840 77.019692
    Unten rechts KachelX + 1 41277 KachelY + 1 10096 0.81579016 1.34424721 46.741333 77.019692
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34426874-1.34424721) × R
    2.15299999999363e-05 × 6371000     		dl = 137.167629999594m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34426874-1.34424721) × R
    2.15299999999363e-05 × 6371000     		dr = 137.167629999594m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81569428-0.81579016) × cos(1.34426874) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.224595183846626 × 6371000     		do = 137.194300453653m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81569428-0.81579016) × cos(1.34424721) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.224616163749478 × 6371000     		du = 137.20711605836m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34426874)-sin(1.34424721))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.224595183846626-0.224616163749478)×R²
    abs(0.81579016-0.81569428)×2.09799028521029e-05×R²
    9.58800000000481e-05×2.09799028521029e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×2.09799028521029e-05×40589641000000     		ar = 18819.4959866256m²