Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41275 / 9938
↖ ↑ ↗
← N 77.213208°
E 46.730347°		 ← 135.18 m → N 77.213208°
E 46.735840°		 →
↑
135.19 m
↓
↑
135.19 m
↓
N 77.211992°
E 46.730347°		 ← 135.19 m →
18 276 m²		 N 77.211992°
E 46.735840°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41275 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9938 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.629814147949219 y=0.151649475097656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.629814147949219 × 216)
    floor (0.629814147949219 × 65536)
    floor (41275.5)     		tx = 41275
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.151649475097656 × 216)
    floor (0.151649475097656 × 65536)
    floor (9938.5)     		ty = 9938
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41275 / 9938 ti = "16/41275/9938"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41275/9938.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41275 ÷ 216
    41275 ÷ 65536     		x = 0.629806518554688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9938 ÷ 216
    9938 ÷ 65536     		y = 0.151641845703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.629806518554688 × 2 - 1) × π
    0.259613037109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.81559841
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.151641845703125 × 2 - 1) × π
    0.69671630859375 × 3.1415926535     		Φ = 2.18879883665176
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81559841} λ = 0.81559841}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.18879883665176))-π/2
    2×atan(8.92448690744984)-π/2
    2×1.45921051836116-π/2
    2.91842103672232-1.57079632675     		φ = 1.34762471
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81559841} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.730347°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34762471 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.213208°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41275 KachelY 9938 0.81559841 1.34762471 46.730347 77.213208
    Oben rechts KachelX + 1 41276 KachelY 9938 0.81569428 1.34762471 46.735840 77.213208
    Unten links KachelX 41275 KachelY + 1 9939 0.81559841 1.34760349 46.730347 77.211992
    Unten rechts KachelX + 1 41276 KachelY + 1 9939 0.81569428 1.34760349 46.735840 77.211992
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34762471-1.34760349) × R
    2.1220000000044e-05 × 6371000     		dl = 135.19262000028m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34762471-1.34760349) × R
    2.1220000000044e-05 × 6371000     		dr = 135.19262000028m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81559841-0.81569428) × cos(1.34762471) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.221323693030456 × 6371000     		do = 135.181804914234m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81559841-0.81569428) × cos(1.34760349) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.221344386733142 × 6371000     		du = 135.194444374751m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34762471)-sin(1.34760349))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.221323693030456-0.221344386733142)×R²
    abs(0.81569428-0.81559841)×2.06937026865917e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.06937026865917e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.06937026865917e-05×40589641000000     		ar = 18276.4367643051m²