Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41274 / 7291
↖ ↑ ↗
← N 80.062790°
E 46.724854°		 ← 105.40 m → N 80.062790°
E 46.730347°		 →
↑
105.38 m
↓
↑
105.38 m
↓
N 80.061843°
E 46.724854°		 ← 105.41 m →
11 107 m²		 N 80.061843°
E 46.730347°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41274 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7291 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.629798889160156 y=0.111259460449219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.629798889160156 × 216)
    floor (0.629798889160156 × 65536)
    floor (41274.5)     		tx = 41274
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.111259460449219 × 216)
    floor (0.111259460449219 × 65536)
    floor (7291.5)     		ty = 7291
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41274 / 7291 ti = "16/41274/7291"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41274/7291.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41274 ÷ 216
    41274 ÷ 65536     		x = 0.629791259765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7291 ÷ 216
    7291 ÷ 65536     		y = 0.111251831054688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.629791259765625 × 2 - 1) × π
    0.25958251953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.81550254
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.111251831054688 × 2 - 1) × π
    0.777496337890625 × 3.1415926535     		Φ = 2.44257678324034
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81550254} λ = 0.81550254}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.44257678324034))-π/2
    2×atan(11.5026424040498)-π/2
    2×1.484077814022-π/2
    2.96815562804401-1.57079632675     		φ = 1.39735930
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81550254} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.724854°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39735930 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.062790°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41274 KachelY 7291 0.81550254 1.39735930 46.724854 80.062790
    Oben rechts KachelX + 1 41275 KachelY 7291 0.81559841 1.39735930 46.730347 80.062790
    Unten links KachelX 41274 KachelY + 1 7292 0.81550254 1.39734276 46.724854 80.061843
    Unten rechts KachelX + 1 41275 KachelY + 1 7292 0.81559841 1.39734276 46.730347 80.061843
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39735930-1.39734276) × R
    1.65400000000648e-05 × 6371000     		dl = 105.376340000413m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39735930-1.39734276) × R
    1.65400000000648e-05 × 6371000     		dr = 105.376340000413m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81550254-0.81559841) × cos(1.39735930) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.172568824362518 × 6371000     		do = 105.402927403902m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81550254-0.81559841) × cos(1.39734276) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.17258511619694 × 6371000     		du = 105.412878257118m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39735930)-sin(1.39734276))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.172568824362518-0.17258511619694)×R²
    abs(0.81559841-0.81550254)×1.6291834421811e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.6291834421811e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.6291834421811e-05×40589641000000     		ar = 11107.4990074443m²