Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41270 / 7970
↖ ↑ ↗
← N 79.398064°
E 46.702881°		 ← 112.38 m → N 79.398064°
E 46.708374°		 →
↑
112.38 m
↓
↑
112.38 m
↓
N 79.397053°
E 46.702881°		 ← 112.39 m →
12 630 m²		 N 79.397053°
E 46.708374°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41270 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7970 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.629737854003906 y=0.121620178222656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.629737854003906 × 216)
    floor (0.629737854003906 × 65536)
    floor (41270.5)     		tx = 41270
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.121620178222656 × 216)
    floor (0.121620178222656 × 65536)
    floor (7970.5)     		ty = 7970
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41270 / 7970 ti = "16/41270/7970"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41270/7970.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41270 ÷ 216
    41270 ÷ 65536     		x = 0.629730224609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7970 ÷ 216
    7970 ÷ 65536     		y = 0.121612548828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.629730224609375 × 2 - 1) × π
    0.25946044921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.81511904
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.121612548828125 × 2 - 1) × π
    0.75677490234375 × 3.1415926535     		Φ = 2.3774784735563
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81511904} λ = 0.81511904}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.3774784735563))-π/2
    2×atan(10.7776923360883)-π/2
    2×1.47827697639904-π/2
    2.95655395279808-1.57079632675     		φ = 1.38575763
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81511904} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.702881°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38575763 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.398064°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41270 KachelY 7970 0.81511904 1.38575763 46.702881 79.398064
    Oben rechts KachelX + 1 41271 KachelY 7970 0.81521491 1.38575763 46.708374 79.398064
    Unten links KachelX 41270 KachelY + 1 7971 0.81511904 1.38573999 46.702881 79.397053
    Unten rechts KachelX + 1 41271 KachelY + 1 7971 0.81521491 1.38573999 46.708374 79.397053
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38575763-1.38573999) × R
    1.7640000000041e-05 × 6371000     		dl = 112.384440000261m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38575763-1.38573999) × R
    1.7640000000041e-05 × 6371000     		dr = 112.384440000261m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81511904-0.81521491) × cos(1.38575763) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.183984569872794 × 6371000     		do = 112.375525147011m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81511904-0.81521491) × cos(1.38573999) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.184001908714052 × 6371000     		du = 112.386115499197m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38575763)-sin(1.38573999))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.183984569872794-0.184001908714052)×R²
    abs(0.81521491-0.81511904)×1.73388412580688e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.73388412580688e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.73388412580688e-05×40589641000000     		ar = 12629.8555593069m²