Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 4127 / 4190
↖ ↑ ↗
← N 78.975589°
W134.659424°		 ← 233.60 m → N 78.975589°
W134.648438°		 →
↑
233.62 m
↓
↑
233.62 m
↓
N 78.973488°
W134.659424°		 ← 233.64 m →
54 579 m²		 N 78.973488°
W134.648438°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4127 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4190 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.125961303710938 y=0.127883911132812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.125961303710938 × 215)
    floor (0.125961303710938 × 32768)
    floor (4127.5)     		tx = 4127
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.127883911132812 × 215)
    floor (0.127883911132812 × 32768)
    floor (4190.5)     		ty = 4190
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 4127 / 4190 ti = "15/4127/4190"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/4127/4190.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4127 ÷ 215
    4127 ÷ 32768     		x = 0.125946044921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4190 ÷ 215
    4190 ÷ 32768     		y = 0.12786865234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.125946044921875 × 2 - 1) × π
    -0.74810791015625 × 3.1415926535     		Λ = -2.35025031
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.12786865234375 × 2 - 1) × π
    0.7442626953125 × 3.1415926535     		Φ = 2.33817021586786
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.35025031} λ = -2.35025031}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.33817021586786))-π/2
    2×atan(10.3622585089632)-π/2
    2×1.47459018730651-π/2
    2.94918037461302-1.57079632675     		φ = 1.37838405
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.35025031} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -134.659424°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37838405 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.975589°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4127 KachelY 4190 -2.35025031 1.37838405 -134.659424 78.975589
    Oben rechts KachelX + 1 4128 KachelY 4190 -2.35005857 1.37838405 -134.648438 78.975589
    Unten links KachelX 4127 KachelY + 1 4191 -2.35025031 1.37834738 -134.659424 78.973488
    Unten rechts KachelX + 1 4128 KachelY + 1 4191 -2.35005857 1.37834738 -134.648438 78.973488
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37838405-1.37834738) × R
    3.66700000000719e-05 × 6371000     		dl = 233.624570000458m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37838405-1.37834738) × R
    3.66700000000719e-05 × 6371000     		dr = 233.624570000458m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.35025031--2.35005857) × cos(1.37838405) × R
    0.000191739999999996 × 0.191227209215748 × 6371000     		do = 233.598481360416m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.35025031--2.35005857) × cos(1.37834738) × R
    0.000191739999999996 × 0.191263202371599 × 6371000     		du = 233.64244971921m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37838405)-sin(1.37834738))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.191227209215748-0.191263202371599)×R²
    abs(-2.35005857--2.35025031)×3.59931558506221e-05×R²
    0.000191739999999996×3.59931558506221e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.59931558506221e-05×40589641000000     		ar = 54579.4808111358m²