Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41268 / 7407
↖ ↑ ↗
← N 79.952224°
E 46.691894°		 ← 106.57 m → N 79.952224°
E 46.697388°		 →
↑
106.59 m
↓
↑
106.59 m
↓
N 79.951265°
E 46.691894°		 ← 106.58 m →
11 360 m²		 N 79.951265°
E 46.697388°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41268 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7407 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.629707336425781 y=0.113029479980469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.629707336425781 × 216)
    floor (0.629707336425781 × 65536)
    floor (41268.5)     		tx = 41268
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.113029479980469 × 216)
    floor (0.113029479980469 × 65536)
    floor (7407.5)     		ty = 7407
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41268 / 7407 ti = "16/41268/7407"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41268/7407.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41268 ÷ 216
    41268 ÷ 65536     		x = 0.62969970703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7407 ÷ 216
    7407 ÷ 65536     		y = 0.113021850585938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62969970703125 × 2 - 1) × π
    0.2593994140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.81492729
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.113021850585938 × 2 - 1) × π
    0.773956298828125 × 3.1415926535     		Φ = 2.43145542252849
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81492729} λ = 0.81492729}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.43145542252849))-π/2
    2×atan(11.3754260892206)-π/2
    2×1.48311293933424-π/2
    2.96622587866848-1.57079632675     		φ = 1.39542955
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81492729} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.691894°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39542955 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.952224°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41268 KachelY 7407 0.81492729 1.39542955 46.691894 79.952224
    Oben rechts KachelX + 1 41269 KachelY 7407 0.81502317 1.39542955 46.697388 79.952224
    Unten links KachelX 41268 KachelY + 1 7408 0.81492729 1.39541282 46.691894 79.951265
    Unten rechts KachelX + 1 41269 KachelY + 1 7408 0.81502317 1.39541282 46.697388 79.951265
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39542955-1.39541282) × R
    1.67300000000203e-05 × 6371000     		dl = 106.58683000013m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39542955-1.39541282) × R
    1.67300000000203e-05 × 6371000     		dr = 106.58683000013m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81492729-0.81502317) × cos(1.39542955) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.17446930071832 × 6371000     		do = 106.574830558404m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81492729-0.81502317) × cos(1.39541282) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.174485774099432 × 6371000     		du = 106.584893347637m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39542955)-sin(1.39541282))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.17446930071832-0.174485774099432)×R²
    abs(0.81502317-0.81492729)×1.64733811125195e-05×R²
    9.58800000000481e-05×1.64733811125195e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×1.64733811125195e-05×40589641000000     		ar = 11360.0096276336m²