Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41267 / 7923
↖ ↑ ↗
← N 79.445459°
E 46.686401°		 ← 111.88 m → N 79.445459°
E 46.691894°		 →
↑
111.87 m
↓
↑
111.87 m
↓
N 79.444453°
E 46.686401°		 ← 111.89 m →
12 517 m²		 N 79.444453°
E 46.691894°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41267 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7923 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.629692077636719 y=0.120903015136719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.629692077636719 × 216)
    floor (0.629692077636719 × 65536)
    floor (41267.5)     		tx = 41267
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.120903015136719 × 216)
    floor (0.120903015136719 × 65536)
    floor (7923.5)     		ty = 7923
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41267 / 7923 ti = "16/41267/7923"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41267/7923.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41267 ÷ 216
    41267 ÷ 65536     		x = 0.629684448242188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7923 ÷ 216
    7923 ÷ 65536     		y = 0.120895385742188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.629684448242188 × 2 - 1) × π
    0.259368896484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.81483142
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.120895385742188 × 2 - 1) × π
    0.758209228515625 × 3.1415926535     		Φ = 2.38198454212059
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81483142} λ = 0.81483142}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.38198454212059))-π/2
    2×atan(10.8263669399105)-π/2
    2×1.47869058326511-π/2
    2.95738116653021-1.57079632675     		φ = 1.38658484
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81483142} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.686401°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38658484 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.445459°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41267 KachelY 7923 0.81483142 1.38658484 46.686401 79.445459
    Oben rechts KachelX + 1 41268 KachelY 7923 0.81492729 1.38658484 46.691894 79.445459
    Unten links KachelX 41267 KachelY + 1 7924 0.81483142 1.38656728 46.686401 79.444453
    Unten rechts KachelX + 1 41268 KachelY + 1 7924 0.81492729 1.38656728 46.691894 79.444453
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38658484-1.38656728) × R
    1.75600000000831e-05 × 6371000     		dl = 111.874760000529m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38658484-1.38656728) × R
    1.75600000000831e-05 × 6371000     		dr = 111.874760000529m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81483142-0.81492729) × cos(1.38658484) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.183171418210302 × 6371000     		do = 111.878862056405m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81483142-0.81492729) × cos(1.38656728) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.183188681084233 × 6371000     		du = 111.889406008677m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38658484)-sin(1.38656728))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.183171418210302-0.183188681084233)×R²
    abs(0.81492729-0.81483142)×1.72628739307512e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.72628739307512e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.72628739307512e-05×40589641000000     		ar = 12517.0106431045m²