Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41266 / 7322
↖ ↑ ↗
← N 80.033361°
E 46.680908°		 ← 105.71 m → N 80.033361°
E 46.686401°		 →
↑
105.69 m
↓
↑
105.69 m
↓
N 80.032410°
E 46.680908°		 ← 105.72 m →
11 174 m²		 N 80.032410°
E 46.686401°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41266 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7322 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.629676818847656 y=0.111732482910156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.629676818847656 × 216)
    floor (0.629676818847656 × 65536)
    floor (41266.5)     		tx = 41266
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.111732482910156 × 216)
    floor (0.111732482910156 × 65536)
    floor (7322.5)     		ty = 7322
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41266 / 7322 ti = "16/41266/7322"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41266/7322.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41266 ÷ 216
    41266 ÷ 65536     		x = 0.629669189453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7322 ÷ 216
    7322 ÷ 65536     		y = 0.111724853515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.629669189453125 × 2 - 1) × π
    0.25933837890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.81473555
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.111724853515625 × 2 - 1) × π
    0.77655029296875 × 3.1415926535     		Φ = 2.4396046954639
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81473555} λ = 0.81473555}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.4396046954639))-π/2
    2×atan(11.4685062940494)-π/2
    2×1.4838209934508-π/2
    2.96764198690161-1.57079632675     		φ = 1.39684566
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81473555} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.680908°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39684566 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.033361°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41266 KachelY 7322 0.81473555 1.39684566 46.680908 80.033361
    Oben rechts KachelX + 1 41267 KachelY 7322 0.81483142 1.39684566 46.686401 80.033361
    Unten links KachelX 41266 KachelY + 1 7323 0.81473555 1.39682907 46.680908 80.032410
    Unten rechts KachelX + 1 41267 KachelY + 1 7323 0.81483142 1.39682907 46.686401 80.032410
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39684566-1.39682907) × R
    1.65900000002051e-05 × 6371000     		dl = 105.694890001306m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39684566-1.39682907) × R
    1.65900000002051e-05 × 6371000     		dr = 105.694890001306m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81473555-0.81483142) × cos(1.39684566) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.173074735672764 × 6371000     		do = 105.711931844904m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81473555-0.81483142) × cos(1.39682907) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.173091075284182 × 6371000     		du = 105.721911879725m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39684566)-sin(1.39682907))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.173074735672764-0.173091075284182)×R²
    abs(0.81483142-0.81473555)×1.63396114183645e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.63396114183645e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.63396114183645e-05×40589641000000     		ar = 11173.7384278452m²