Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 41265 / 7411
↖ ↑ ↗
← N 79.948390°
E 46.675415°		 ← 106.62 m → N 79.948390°
E 46.680908°		 →
↑
106.59 m
↓
↑
106.59 m
↓
N 79.947431°
E 46.675415°		 ← 106.63 m →
11 364 m²		 N 79.947431°
E 46.680908°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41265 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7411 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.629661560058594 y=0.113090515136719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.629661560058594 × 216)
    floor (0.629661560058594 × 65536)
    floor (41265.5)     		tx = 41265
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.113090515136719 × 216)
    floor (0.113090515136719 × 65536)
    floor (7411.5)     		ty = 7411
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41265 / 7411 ti = "16/41265/7411"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41265/7411.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41265 ÷ 216
    41265 ÷ 65536     		x = 0.629653930664062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7411 ÷ 216
    7411 ÷ 65536     		y = 0.113082885742188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.629653930664062 × 2 - 1) × π
    0.259307861328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.81463967
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.113082885742188 × 2 - 1) × π
    0.773834228515625 × 3.1415926535     		Φ = 2.43107192733153
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81463967} λ = 0.81463967}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.43107192733153))-π/2
    2×atan(11.3710645043289)-π/2
    2×1.48307947894805-π/2
    2.9661589578961-1.57079632675     		φ = 1.39536263
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81463967} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.675415°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39536263 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.948390°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41265 KachelY 7411 0.81463967 1.39536263 46.675415 79.948390
    Oben rechts KachelX + 1 41266 KachelY 7411 0.81473555 1.39536263 46.680908 79.948390
    Unten links KachelX 41265 KachelY + 1 7412 0.81463967 1.39534590 46.675415 79.947431
    Unten rechts KachelX + 1 41266 KachelY + 1 7412 0.81473555 1.39534590 46.680908 79.947431
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39536263-1.39534590) × R
    1.67300000000203e-05 × 6371000     		dl = 106.58683000013m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39536263-1.39534590) × R
    1.67300000000203e-05 × 6371000     		dr = 106.58683000013m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81463967-0.81473555) × cos(1.39536263) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.174535193949728 × 6371000     		do = 106.615081536208m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81463967-0.81473555) × cos(1.39534590) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.174551667135463 × 6371000     		du = 106.625144206095m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39536263)-sin(1.39534590))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.174535193949728-0.174551667135463)×R²
    abs(0.81473555-0.81463967)×1.64731857355549e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.64731857355549e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.64731857355549e-05×40589641000000     		ar = 11364.2998451659m²