Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41263 / 7906
↖ ↑ ↗
← N 79.462551°
E 46.664428°		 ← 111.71 m → N 79.462551°
E 46.669922°		 →
↑
111.68 m
↓
↑
111.68 m
↓
N 79.461546°
E 46.664428°		 ← 111.72 m →
12 477 m²		 N 79.461546°
E 46.669922°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41263 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7906 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.629631042480469 y=0.120643615722656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.629631042480469 × 216)
    floor (0.629631042480469 × 65536)
    floor (41263.5)     		tx = 41263
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.120643615722656 × 216)
    floor (0.120643615722656 × 65536)
    floor (7906.5)     		ty = 7906
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41263 / 7906 ti = "16/41263/7906"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41263/7906.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41263 ÷ 216
    41263 ÷ 65536     		x = 0.629623413085938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7906 ÷ 216
    7906 ÷ 65536     		y = 0.120635986328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.629623413085938 × 2 - 1) × π
    0.259246826171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.81444792
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.120635986328125 × 2 - 1) × π
    0.75872802734375 × 3.1415926535     		Φ = 2.38361439670767
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81444792} λ = 0.81444792}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.38361439670767))-π/2
    2×atan(10.8440267312656)-π/2
    2×1.47883973512784-π/2
    2.95767947025567-1.57079632675     		φ = 1.38688314
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81444792} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.664428°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38688314 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.462551°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41263 KachelY 7906 0.81444792 1.38688314 46.664428 79.462551
    Oben rechts KachelX + 1 41264 KachelY 7906 0.81454380 1.38688314 46.669922 79.462551
    Unten links KachelX 41263 KachelY + 1 7907 0.81444792 1.38686561 46.664428 79.461546
    Unten rechts KachelX + 1 41264 KachelY + 1 7907 0.81454380 1.38686561 46.669922 79.461546
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38688314-1.38686561) × R
    1.75299999998213e-05 × 6371000     		dl = 111.683629998862m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38688314-1.38686561) × R
    1.75299999998213e-05 × 6371000     		dr = 111.683629998862m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81444792-0.81454380) × cos(1.38688314) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.182878157005978 × 6371000     		do = 111.71139286683m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81444792-0.81454380) × cos(1.38686561) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.182895391344693 × 6371000     		du = 111.721920488141m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38688314)-sin(1.38686561))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.182878157005978-0.182895391344693)×R²
    abs(0.81454380-0.81444792)×1.72343387153662e-05×R²
    9.58800000000481e-05×1.72343387153662e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×1.72343387153662e-05×40589641000000     		ar = 12476.9217494526m²