Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41262 / 7915
↖ ↑ ↗
← N 79.453506°
E 46.658936°		 ← 111.79 m → N 79.453506°
E 46.664428°		 →
↑
111.81 m
↓
↑
111.81 m
↓
N 79.452500°
E 46.658936°		 ← 111.81 m →
12 500 m²		 N 79.452500°
E 46.664428°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41262 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7915 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.629615783691406 y=0.120780944824219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.629615783691406 × 216)
    floor (0.629615783691406 × 65536)
    floor (41262.5)     		tx = 41262
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.120780944824219 × 216)
    floor (0.120780944824219 × 65536)
    floor (7915.5)     		ty = 7915
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41262 / 7915 ti = "16/41262/7915"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41262/7915.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41262 ÷ 216
    41262 ÷ 65536     		x = 0.629608154296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7915 ÷ 216
    7915 ÷ 65536     		y = 0.120773315429688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.629608154296875 × 2 - 1) × π
    0.25921630859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.81435205
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.120773315429688 × 2 - 1) × π
    0.758453369140625 × 3.1415926535     		Φ = 2.38275153251451
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81435205} λ = 0.81435205}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.38275153251451))-π/2
    2×atan(10.8346738446053)-π/2
    2×1.47876080214775-π/2
    2.95752160429551-1.57079632675     		φ = 1.38672528
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81435205} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.658936°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38672528 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.453506°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41262 KachelY 7915 0.81435205 1.38672528 46.658936 79.453506
    Oben rechts KachelX + 1 41263 KachelY 7915 0.81444792 1.38672528 46.664428 79.453506
    Unten links KachelX 41262 KachelY + 1 7916 0.81435205 1.38670773 46.658936 79.452500
    Unten rechts KachelX + 1 41263 KachelY + 1 7916 0.81444792 1.38670773 46.664428 79.452500
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38672528-1.38670773) × R
    1.75500000001438e-05 × 6371000     		dl = 111.811050000916m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38672528-1.38670773) × R
    1.75500000001438e-05 × 6371000     		dr = 111.811050000916m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81435205-0.81444792) × cos(1.38672528) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.183033352510235 × 6371000     		do = 111.794533215348m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81435205-0.81444792) × cos(1.38670773) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.183050606004706 × 6371000     		du = 111.805071438761m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38672528)-sin(1.38670773))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.183033352510235-0.183050606004706)×R²
    abs(0.81444792-0.81435205)×1.72534944708203e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.72534944708203e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.72534944708203e-05×40589641000000     		ar = 12500.4532883449m²