Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41261 / 9481
↖ ↑ ↗
← N 77.757103°
E 46.653443°		 ← 129.52 m → N 77.757103°
E 46.658936°		 →
↑
129.59 m
↓
↑
129.59 m
↓
N 77.755938°
E 46.653443°		 ← 129.53 m →
16 785 m²		 N 77.755938°
E 46.658936°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41261 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9481 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.629600524902344 y=0.144676208496094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.629600524902344 × 216)
    floor (0.629600524902344 × 65536)
    floor (41261.5)     		tx = 41261
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.144676208496094 × 216)
    floor (0.144676208496094 × 65536)
    floor (9481.5)     		ty = 9481
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41261 / 9481 ti = "16/41261/9481"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41261/9481.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41261 ÷ 216
    41261 ÷ 65536     		x = 0.629592895507812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9481 ÷ 216
    9481 ÷ 65536     		y = 0.144668579101562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.629592895507812 × 2 - 1) × π
    0.259185791015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.81425618
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.144668579101562 × 2 - 1) × π
    0.710662841796875 × 3.1415926535     		Φ = 2.2326131629045
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81425618} λ = 0.81425618}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.2326131629045))-π/2
    2×atan(9.32419992484306)-π/2
    2×1.46395689591109-π/2
    2.92791379182219-1.57079632675     		φ = 1.35711747
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81425618} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.653443°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35711747 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.757103°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41261 KachelY 9481 0.81425618 1.35711747 46.653443 77.757103
    Oben rechts KachelX + 1 41262 KachelY 9481 0.81435205 1.35711747 46.658936 77.757103
    Unten links KachelX 41261 KachelY + 1 9482 0.81425618 1.35709713 46.653443 77.755938
    Unten rechts KachelX + 1 41262 KachelY + 1 9482 0.81435205 1.35709713 46.658936 77.755938
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35711747-1.35709713) × R
    2.0339999999841e-05 × 6371000     		dl = 129.586139998987m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35711747-1.35709713) × R
    2.0339999999841e-05 × 6371000     		dr = 129.586139998987m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81425618-0.81435205) × cos(1.35711747) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.212056516761166 × 6371000     		do = 129.521526986517m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81425618-0.81435205) × cos(1.35709713) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.212076394132897 × 6371000     		du = 129.53366784207m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35711747)-sin(1.35709713))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.212056516761166-0.212076394132897)×R²
    abs(0.81435205-0.81425618)×1.98773717305645e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.98773717305645e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.98773717305645e-05×40589641000000     		ar = 16784.9813729207m²