Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41260 / 9519
↖ ↑ ↗
← N 77.712759°
E 46.647949°		 ← 130 m → N 77.712759°
E 46.653443°		 →
↑
129.97 m
↓
↑
129.97 m
↓
N 77.711590°
E 46.647949°		 ← 130.01 m →
16 896 m²		 N 77.711590°
E 46.653443°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41260 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9519 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.629585266113281 y=0.145256042480469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.629585266113281 × 216)
    floor (0.629585266113281 × 65536)
    floor (41260.5)     		tx = 41260
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.145256042480469 × 216)
    floor (0.145256042480469 × 65536)
    floor (9519.5)     		ty = 9519
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41260 / 9519 ti = "16/41260/9519"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41260/9519.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41260 ÷ 216
    41260 ÷ 65536     		x = 0.62957763671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9519 ÷ 216
    9519 ÷ 65536     		y = 0.145248413085938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62957763671875 × 2 - 1) × π
    0.2591552734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.81416030
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.145248413085938 × 2 - 1) × π
    0.709503173828125 × 3.1415926535     		Φ = 2.22896995853337
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81416030} λ = 0.81416030}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.22896995853337))-π/2
    2×atan(9.29029176360532)-π/2
    2×1.46356992485926-π/2
    2.92713984971852-1.57079632675     		φ = 1.35634352
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81416030} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.647949°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35634352 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.712759°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41260 KachelY 9519 0.81416030 1.35634352 46.647949 77.712759
    Oben rechts KachelX + 1 41261 KachelY 9519 0.81425618 1.35634352 46.653443 77.712759
    Unten links KachelX 41260 KachelY + 1 9520 0.81416030 1.35632312 46.647949 77.711590
    Unten rechts KachelX + 1 41261 KachelY + 1 9520 0.81425618 1.35632312 46.653443 77.711590
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35634352-1.35632312) × R
    2.03999999999205e-05 × 6371000     		dl = 129.968399999493m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35634352-1.35632312) × R
    2.03999999999205e-05 × 6371000     		dr = 129.968399999493m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81416030-0.81425618) × cos(1.35634352) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.212812801542718 × 6371000     		do = 129.997014785381m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81416030-0.81425618) × cos(1.35632312) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.212832734195435 × 6371000     		du = 130.009190675793m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35634352)-sin(1.35632312))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.212812801542718-0.212832734195435)×R²
    abs(0.81425618-0.81416030)×1.99326527165478e-05×R²
    9.58800000000481e-05×1.99326527165478e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×1.99326527165478e-05×40589641000000     		ar = 16896.2952576636m²