Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 4126 / 4139
↖ ↑ ↗
← S  1.889306°
E  1.318359°		 ← 4 883.84 m → S  1.889306°
E  1.362305°		 →
↑
4 883.75 m
↓
↑
4 883.75 m
↓
S  1.933227°
E  1.318359°		 ← 4 883.71 m →
23 851 153 m²		 S  1.933227°
E  1.362305°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4126 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4139 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.50372314453125 y=0.50531005859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.50372314453125 × 213)
    floor (0.50372314453125 × 8192)
    floor (4126.5)     		tx = 4126
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.50531005859375 × 213)
    floor (0.50531005859375 × 8192)
    floor (4139.5)     		ty = 4139
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4126 / 4139 ti = "13/4126/4139"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4126/4139.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4126 ÷ 213
    4126 ÷ 8192     		x = 0.503662109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4139 ÷ 213
    4139 ÷ 8192     		y = 0.5052490234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.503662109375 × 2 - 1) × π
    0.00732421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.02300971
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5052490234375 × 2 - 1) × π
    -0.010498046875 × 3.1415926535     		Φ = -0.0329805869385986
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.02300971} λ = 0.02300971}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0329805869385986))-π/2
    2×atan(0.967557342656815)-π/2
    2×0.768910858583383-π/2
    1.53782171716677-1.57079632675     		φ = -0.03297461
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.02300971} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.318359°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.03297461 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -1.889306°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4126 KachelY 4139 0.02300971 -0.03297461 1.318359 -1.889306
    Oben rechts KachelX + 1 4127 KachelY 4139 0.02377670 -0.03297461 1.362305 -1.889306
    Unten links KachelX 4126 KachelY + 1 4140 0.02300971 -0.03374117 1.318359 -1.933227
    Unten rechts KachelX + 1 4127 KachelY + 1 4140 0.02377670 -0.03374117 1.362305 -1.933227
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.03297461--0.03374117) × R
    0.000766559999999999 × 6371000     		dl = 4883.75376m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.03297461--0.03374117) × R
    0.000766559999999999 × 6371000     		dr = 4883.75376m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.02300971-0.02377670) × cos(-0.03297461) × R
    0.000766990000000002 × 0.999456386807366 × 6371000     		do = 4883.83692778185m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.02300971-0.02377670) × cos(-0.03374117) × R
    0.000766990000000002 × 0.999430820725887 × 6371000     		du = 4883.71199929625m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.03297461)-sin(-0.03374117))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999456386807366-0.999430820725887)×R²
    abs(0.02377670-0.02300971)×2.55660814788561e-05×R²
    0.000766990000000002×2.55660814788561e-05×6371000²
    0.000766990000000002×2.55660814788561e-05×40589641000000     		ar = 23851153.0672405m²