Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41259 / 9517
↖ ↑ ↗
← N 77.715098°
E 46.642456°		 ← 129.96 m → N 77.715098°
E 46.647949°		 →
↑
129.97 m
↓
↑
129.97 m
↓
N 77.713929°
E 46.642456°		 ← 129.97 m →
16 891 m²		 N 77.713929°
E 46.647949°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41259 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9517 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.629570007324219 y=0.145225524902344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.629570007324219 × 216)
    floor (0.629570007324219 × 65536)
    floor (41259.5)     		tx = 41259
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.145225524902344 × 216)
    floor (0.145225524902344 × 65536)
    floor (9517.5)     		ty = 9517
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41259 / 9517 ti = "16/41259/9517"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41259/9517.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41259 ÷ 216
    41259 ÷ 65536     		x = 0.629562377929688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9517 ÷ 216
    9517 ÷ 65536     		y = 0.145217895507812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.629562377929688 × 2 - 1) × π
    0.259124755859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.81406443
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.145217895507812 × 2 - 1) × π
    0.709564208984375 × 3.1415926535     		Φ = 2.22916170613185
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81406443} λ = 0.81406443}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.22916170613185))-π/2
    2×atan(9.29207332553983)-π/2
    2×1.46359032611959-π/2
    2.92718065223918-1.57079632675     		φ = 1.35638433
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81406443} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.642456°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35638433 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.715098°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41259 KachelY 9517 0.81406443 1.35638433 46.642456 77.715098
    Oben rechts KachelX + 1 41260 KachelY 9517 0.81416030 1.35638433 46.647949 77.715098
    Unten links KachelX 41259 KachelY + 1 9518 0.81406443 1.35636393 46.642456 77.713929
    Unten rechts KachelX + 1 41260 KachelY + 1 9518 0.81416030 1.35636393 46.647949 77.713929
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35638433-1.35636393) × R
    2.03999999999205e-05 × 6371000     		dl = 129.968399999493m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35638433-1.35636393) × R
    2.03999999999205e-05 × 6371000     		dr = 129.968399999493m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81406443-0.81416030) × cos(1.35638433) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.212772926200584 × 6371000     		do = 129.959101110426m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81406443-0.81416030) × cos(1.35636393) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.212792859030464 × 6371000     		du = 129.971275839139m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35638433)-sin(1.35636393))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.212772926200584-0.212792859030464)×R²
    abs(0.81416030-0.81406443)×1.99328298799983e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.99328298799983e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.99328298799983e-05×40589641000000     		ar = 16891.3676024231m²