Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 41256 / 9512
↖ ↑ ↗
← N 77.720940°
E 46.625977°		 ← 129.90 m → N 77.720940°
E 46.631470°		 →
↑
129.90 m
↓
↑
129.90 m
↓
N 77.719772°
E 46.625977°		 ← 129.91 m →
16 875 m²		 N 77.719772°
E 46.631470°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41256 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9512 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.629524230957031 y=0.145149230957031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.629524230957031 × 216)
    floor (0.629524230957031 × 65536)
    floor (41256.5)     		tx = 41256
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.145149230957031 × 216)
    floor (0.145149230957031 × 65536)
    floor (9512.5)     		ty = 9512
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41256 / 9512 ti = "16/41256/9512"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41256/9512.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41256 ÷ 216
    41256 ÷ 65536     		x = 0.6295166015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9512 ÷ 216
    9512 ÷ 65536     		y = 0.1451416015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6295166015625 × 2 - 1) × π
    0.259033203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.81377681
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1451416015625 × 2 - 1) × π
    0.709716796875 × 3.1415926535     		Φ = 2.22964107512805
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81377681} λ = 0.81377681}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.22964107512805))-π/2
    2×atan(9.29652872520743)-π/2
    2×1.46364131255084-π/2
    2.92728262510167-1.57079632675     		φ = 1.35648630
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81377681} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.625977°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35648630 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.720940°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41256 KachelY 9512 0.81377681 1.35648630 46.625977 77.720940
    Oben rechts KachelX + 1 41257 KachelY 9512 0.81387268 1.35648630 46.631470 77.720940
    Unten links KachelX 41256 KachelY + 1 9513 0.81377681 1.35646591 46.625977 77.719772
    Unten rechts KachelX + 1 41257 KachelY + 1 9513 0.81387268 1.35646591 46.631470 77.719772
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35648630-1.35646591) × R
    2.03899999999813e-05 × 6371000     		dl = 129.904689999881m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35648630-1.35646591) × R
    2.03899999999813e-05 × 6371000     		dr = 129.904689999881m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81377681-0.81387268) × cos(1.35648630) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.212673290036837 × 6371000     		do = 129.89824456016m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81377681-0.81387268) × cos(1.35646591) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.212693213538051 × 6371000     		du = 129.910413591037m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35648630)-sin(1.35646591))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.212673290036837-0.212693213538051)×R²
    abs(0.81387268-0.81377681)×1.99235012145749e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.99235012145749e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.99235012145749e-05×40589641000000     		ar = 16875.1815984641m²