Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41256 / 9511
↖ ↑ ↗
← N 77.722108°
E 46.625977°		 ← 129.89 m → N 77.722108°
E 46.631470°		 →
↑
129.90 m
↓
↑
129.90 m
↓
N 77.720940°
E 46.625977°		 ← 129.90 m →
16 874 m²		 N 77.720940°
E 46.631470°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41256 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9511 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.629524230957031 y=0.145133972167969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.629524230957031 × 216)
    floor (0.629524230957031 × 65536)
    floor (41256.5)     		tx = 41256
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.145133972167969 × 216)
    floor (0.145133972167969 × 65536)
    floor (9511.5)     		ty = 9511
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41256 / 9511 ti = "16/41256/9511"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41256/9511.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41256 ÷ 216
    41256 ÷ 65536     		x = 0.6295166015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9511 ÷ 216
    9511 ÷ 65536     		y = 0.145126342773438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6295166015625 × 2 - 1) × π
    0.259033203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.81377681
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.145126342773438 × 2 - 1) × π
    0.709747314453125 × 3.1415926535     		Φ = 2.22973694892729
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81377681} λ = 0.81377681}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.22973694892729))-π/2
    2×atan(9.29742006146327)-π/2
    2×1.46365150697155-π/2
    2.92730301394311-1.57079632675     		φ = 1.35650669
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81377681} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.625977°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35650669 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.722108°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41256 KachelY 9511 0.81377681 1.35650669 46.625977 77.722108
    Oben rechts KachelX + 1 41257 KachelY 9511 0.81387268 1.35650669 46.631470 77.722108
    Unten links KachelX 41256 KachelY + 1 9512 0.81377681 1.35648630 46.625977 77.720940
    Unten rechts KachelX + 1 41257 KachelY + 1 9512 0.81387268 1.35648630 46.631470 77.720940
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35650669-1.35648630) × R
    2.03899999999813e-05 × 6371000     		dl = 129.904689999881m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35650669-1.35648630) × R
    2.03899999999813e-05 × 6371000     		dr = 129.904689999881m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81377681-0.81387268) × cos(1.35650669) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.212653366447203 × 6371000     		do = 129.886075475277m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81377681-0.81387268) × cos(1.35648630) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.212673290036837 × 6371000     		du = 129.89824456016m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35650669)-sin(1.35648630))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.212653366447203-0.212673290036837)×R²
    abs(0.81387268-0.81377681)×1.99235896339578e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.99235896339578e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.99235896339578e-05×40589641000000     		ar = 16873.6007814007m²