Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41254 / 9526
↖ ↑ ↗
← N 77.704573°
E 46.614990°		 ← 130.07 m → N 77.704573°
E 46.620483°		 →
↑
130.03 m
↓
↑
130.03 m
↓
N 77.703404°
E 46.614990°		 ← 130.08 m →
16 914 m²		 N 77.703404°
E 46.620483°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41254 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9526 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.629493713378906 y=0.145362854003906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.629493713378906 × 216)
    floor (0.629493713378906 × 65536)
    floor (41254.5)     		tx = 41254
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.145362854003906 × 216)
    floor (0.145362854003906 × 65536)
    floor (9526.5)     		ty = 9526
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41254 / 9526 ti = "16/41254/9526"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41254/9526.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41254 ÷ 216
    41254 ÷ 65536     		x = 0.629486083984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9526 ÷ 216
    9526 ÷ 65536     		y = 0.145355224609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.629486083984375 × 2 - 1) × π
    0.25897216796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.81358506
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.145355224609375 × 2 - 1) × π
    0.70928955078125 × 3.1415926535     		Φ = 2.22829884193869
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81358506} λ = 0.81358506}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.22829884193869))-π/2
    2×atan(9.28405898632741)-π/2
    2×1.46349849034033-π/2
    2.92699698068066-1.57079632675     		φ = 1.35620065
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81358506} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.614990°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35620065 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.704573°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41254 KachelY 9526 0.81358506 1.35620065 46.614990 77.704573
    Oben rechts KachelX + 1 41255 KachelY 9526 0.81368093 1.35620065 46.620483 77.704573
    Unten links KachelX 41254 KachelY + 1 9527 0.81358506 1.35618024 46.614990 77.703404
    Unten rechts KachelX + 1 41255 KachelY + 1 9527 0.81368093 1.35618024 46.620483 77.703404
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35620065-1.35618024) × R
    2.04099999998597e-05 × 6371000     		dl = 130.032109999106m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35620065-1.35618024) × R
    2.04099999998597e-05 × 6371000     		dr = 130.032109999106m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81358506-0.81368093) × cos(1.35620065) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.212952396645803 × 6371000     		do = 130.068719463443m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81358506-0.81368093) × cos(1.35618024) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.212972338448617 × 6371000     		du = 130.080899672713m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35620065)-sin(1.35618024))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.212952396645803-0.212972338448617)×R²
    abs(0.81368093-0.81358506)×1.99418028132003e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.99418028132003e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.99418028132003e-05×40589641000000     		ar = 16913.9019467335m²