Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41254 / 7337
↖ ↑ ↗
← N 80.019090°
E 46.614990°		 ← 105.86 m → N 80.019090°
E 46.620483°		 →
↑
105.82 m
↓
↑
105.82 m
↓
N 80.018138°
E 46.614990°		 ← 105.87 m →
11 203 m²		 N 80.018138°
E 46.620483°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41254 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7337 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.629493713378906 y=0.111961364746094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.629493713378906 × 216)
    floor (0.629493713378906 × 65536)
    floor (41254.5)     		tx = 41254
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.111961364746094 × 216)
    floor (0.111961364746094 × 65536)
    floor (7337.5)     		ty = 7337
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41254 / 7337 ti = "16/41254/7337"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41254/7337.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41254 ÷ 216
    41254 ÷ 65536     		x = 0.629486083984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7337 ÷ 216
    7337 ÷ 65536     		y = 0.111953735351562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.629486083984375 × 2 - 1) × π
    0.25897216796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.81358506
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.111953735351562 × 2 - 1) × π
    0.776092529296875 × 3.1415926535     		Φ = 2.4381665884753
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81358506} λ = 0.81358506}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.4381665884753))-π/2
    2×atan(11.4520252086217)-π/2
    2×1.48369645528134-π/2
    2.96739291056268-1.57079632675     		φ = 1.39659658
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81358506} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.614990°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39659658 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.019090°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41254 KachelY 7337 0.81358506 1.39659658 46.614990 80.019090
    Oben rechts KachelX + 1 41255 KachelY 7337 0.81368093 1.39659658 46.620483 80.019090
    Unten links KachelX 41254 KachelY + 1 7338 0.81358506 1.39657997 46.614990 80.018138
    Unten rechts KachelX + 1 41255 KachelY + 1 7338 0.81368093 1.39657997 46.620483 80.018138
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39659658-1.39657997) × R
    1.66100000000835e-05 × 6371000     		dl = 105.822310000532m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39659658-1.39657997) × R
    1.66100000000835e-05 × 6371000     		dr = 105.822310000532m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81358506-0.81368093) × cos(1.39659658) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.173320051358922 × 6371000     		do = 105.861767665799m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81358506-0.81368093) × cos(1.39657997) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.173336409951867 × 6371000     		du = 105.871759294305m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39659658)-sin(1.39657997))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.173320051358922-0.173336409951867)×R²
    abs(0.81368093-0.81358506)×1.63585929453258e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.63585929453258e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.63585929453258e-05×40589641000000     		ar = 11203.0654637483m²